Esboce a curva espacial dada pela função vetorial
, para
no intervalo
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial
, onde
varia de
a
. O conteúdo envolvido aqui é o de curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função vetorial e como elas se comportam quando
varia nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função vetorial em suas componentes:
Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto no espaço tridimensional com coordenadas
.
Passo 3
Observando as componentes
e
, percebemos que elas representam uma circunferência no plano
. De fato, sabemos que
, que é a equação da circunferência unitária. Portanto, à medida que
varia, o ponto
descreve um círculo de raio 1.
Passo 4
Agora, olhamos para a componente
. Isso indica que, conforme
aumenta, a coordenada
também aumenta de forma linear. Ou seja, à medida que a curva percorre o círculo no plano
, ela também est�� “subindo” no eixo
.
Passo 5
Juntando essas observações, a curva descrita por
é uma hélice. Uma hélice é uma curva que enrola em torno de um cilindro (neste caso, o cilindro de raio 1) enquanto avança linearmente em uma direção perpendicular a esse cilindro (no eixo
).
Passo 6
Para esboçar a curva no intervalo
, consideramos que
a
cobre duas voltas completas na circunferência, já que um período completo do seno e do cosseno é
. Assim, a hélice fará duas voltas enquanto sobe até
.
Resposta
A curva espacial dada por
, para
no intervalo
, é uma hélice que realiza duas voltas completas ao redor de um cilindro de raio 1, subindo linearmente até a altura
.