Esboce a curva espacial dada pela função vetorial r(t) = (sen(t), cos(t), t), para t no intervalo [0, 4*pi].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial , onde t varia de 0 a . O conteúdo envolvido aqui é o de curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função vetorial e como elas se comportam quando t varia nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função vetorial em suas componentes:
Isso significa que, para cada valor de t, temos um ponto no espaço tridimensional com coordenadas .

Passo 3

Observando as componentes e , percebemos que elas representam uma circunferência no plano xy. De fato, sabemos que , que é a equação da circunferência unitária. Portanto, à medida que t varia, o ponto descreve um círculo de raio 1.

Passo 4

Agora, olhamos para a componente . Isso indica que, conforme t aumenta, a coordenada z também aumenta de forma linear. Ou seja, à medida que a curva percorre o círculo no plano xy, ela também est�� “subindo” no eixo z.

Passo 5

Juntando essas observações, a curva descrita por r(t) é uma hélice. Uma hélice é uma curva que enrola em torno de um cilindro (neste caso, o cilindro de raio 1) enquanto avança linearmente em uma direção perpendicular a esse cilindro (no eixo z).

Passo 6

Para esboçar a curva no intervalo , consideramos que a cobre duas voltas completas na circunferência, já que um período completo do seno e do cosseno é . Assim, a hélice fará duas voltas enquanto sobe até .

Resposta

A curva espacial dada por , para t no intervalo , é uma hélice que realiza duas voltas completas ao redor de um cilindro de raio 1, subindo linearmente até a altura .

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