Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral cos x cdot cos (sin x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral indefinida . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando substituição. A gente vai precisar entender como fazer uma substituição adequada para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável. Olhando para , percebemos que o dentro do cosseno é uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = sin x igual a :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = cos x em relação a du = cos x , dx para substituir :
Isso significa que:

Passo 5

Agora, substituímos integral cos x cdot cos (sin x) , dx = integral cos u , du e na integral original:

Passo 6

A integral de integral cos u , du = sin u + C em relação a é simples de resolver:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original sin u + C = sin (sin x) + C substituindo :

Resposta

A integral indefinida é:
integral cos x cdot cos (sin x) , dx = sin (sin x) + C

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