Investigar as integrais impróprias: integral-2^2 x1-x d x

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada nesse exercício: precisamos investigar a integral imprópria . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais impróprias, identificar possíveis pontos problemáticos no intervalo de integração e usar limites para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é considerada imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função a ser integrada tem uma descontinuidade (como um ponto onde o denominador é zero) dentro do intervalo.
No nosso caso, a função tem um denominador que pode se tornar zero. Vamos identificar onde isso acontece.

Passo 3

Para encontrar os pontos de descontinuidade, igualamos o denominador a zero:
1 - x = 0 Rightarrow x = 1
Então, em , a função não está definida, o que significa que temos uma descontinuidade nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos verificar se está dentro do intervalo de integração . Sim, está entre e , então a integral tem uma descontinuidade dentro do intervalo. Isso torna a integral imprópria.

Passo 5

Para resolver a integral imprópria, vamos dividir o intervalo em duas partes, evitando o ponto de descontinuidade:
integral-2^2 x1 - x , dx = lima to 1^- integral-2^a x1 - x , dx + limb to 1^+ integralb^2 x1 - x , dx

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de x1 - x = -xx - 1 = -(1 + 1x - 1) .
Podemos reescrever a fração:
-integral (1 + 1x - 1) , dx = -x - ln|x - 1| + C
Então, a antiderivada é:

Passo 7

Agora, vamos calcular as integrais usando a antiderivada encontrada.
Para -a - ln|a - 1| + 2 + ln| -2 - 1| = -a - ln|a - 1| + 2 + ln 3 :
-2 - ln|2 - 1| + b + ln|b - 1| = -2 - ln 1 + b + ln|b - 1|
Para -2 + b + ln|b - 1| :
Como , simplifica para:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites lima to 1^- (-a - ln|a - 1| + 2 + ln 3) = -1 - ln(0^+) + 2 + ln 3 e limb to 1^+ (-2 + b + ln|b - 1|) = -2 + 1 + ln(0^+) = -1 + (-infty) = -infty :
Para o primeiro limite:
Aqui, tende a , então a expressão tende a
Para o segundo limite:

Passo 9

Finalmente, somamos os limites encontrados:
infty + (-infty)
Essa expressão é indeterminada, o que significa que a integral não converge.

Resposta

A integral imprópria não converge.

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