Investigar as integrais impróprias:
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada nesse exercício: precisamos investigar a integral imprópria
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais impróprias, identificar possíveis pontos problemáticos no intervalo de integração e usar limites para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é considerada imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função a ser integrada tem uma descontinuidade (como um ponto onde o denominador é zero) dentro do intervalo.
No nosso caso, a função
tem um denominador que pode se tornar zero. Vamos identificar onde isso acontece.
Passo 3
Para encontrar os pontos de descontinuidade, igualamos o denominador a zero:
Então, em
, a função
não está definida, o que significa que temos uma descontinuidade nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
está dentro do intervalo de integração
. Sim,
está entre
e
, então a integral tem uma descontinuidade dentro do intervalo. Isso torna a integral imprópria.
Passo 5
Para resolver a integral imprópria, vamos dividir o intervalo em duas partes, evitando o ponto de descontinuidade:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de
.
Podemos reescrever a fração:
Então, a antiderivada é:
Passo 7
Agora, vamos calcular as integrais usando a antiderivada encontrada.
Para
:
Para
:
Como
, simplifica para:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites
e
:
Para o primeiro limite:
Aqui,
tende a
, então a expressão tende a
Para o segundo limite:
Passo 9
Finalmente, somamos os limites encontrados:
Essa expressão é indeterminada, o que significa que a integral não converge.
Resposta
A integral imprópria
não converge.
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