Calcule as integrais indefinidas abaixo:
A) integral 9 r^2 d rraiz1-r^3
B) integral x^n ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou dois exercícios de cálculo envolvendo integrais indefinidas. A gente vai resolver cada um passo a passo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição e integração por partes.

Passo 2

Exercício A:

Primeiro, vamos olhar para essa integral e ver como podemos simplificar. A presença de na raiz sugere que uma substituição pode ajudar.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil. Seja du = -3 r^2 dr .
Então, derivando ambos os lados em relação a - 13 du = r^2 dr , temos:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos substituir integral 9 r^2 drraiz1 - r^3 = 9 integral r^2 drraizu = 9 integral -13 duraizu = -3 integral u^-1/2 du e na integral original:

Passo 5

Integrando -3 integral u^-1/2 du = -3 cdot 2 u^1/2 + C = -6 raizu + C em relação a -6 raiz1 - r^3 + C :
Lembre-se de substituir de volta para termos em :

Passo 6

Exercício B:

Agora, vamos para o segundo exercício. Aqui temos um produto de e , o que sugere que vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 7

A integração por partes usa a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = ln x Rightarrow du = 1x dx
dv = x^n dx Rightarrow v = x^n+1n+1

Passo 8

Aplicando a fórmula:
integral x^n ln x , dx = ln x cdot x^n+1n+1 - integral x^n+1n+1 cdot 1x dx
Simplificando a segunda integral:
1n+1 integral x^n dx = 1n+1 cdot x^n+1n+1 + C = x^n+1(n+1)^2 + C

Passo 9

Juntando tudo:
integral x^n ln x , dx = x^n+1 ln xn+1 - x^n+1(n+1)^2 + C
Podemos fatorar x^n+1n+1 ( ln x - 1n+1 ) + C para simplificar:

Resposta

A)
B)

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