Calcule as integrais indefinidas abaixo:
A)
B)
A)
B)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou dois exercícios de cálculo envolvendo integrais indefinidas. A gente vai resolver cada um passo a passo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição e integração por partes.
Passo 2
Exercício A:
Primeiro, vamos olhar para essa integral e ver como podemos simplificar. A presença de
na raiz sugere que uma substituição pode ajudar.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil. Seja
.
Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Lembre-se de substituir
de volta para termos em
:
Passo 6
Exercício B:
Agora, vamos para o segundo exercício. Aqui temos um produto de
e
, o que sugere que vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 7
A integração por partes usa a fórmula:
Vamos escolher:
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Simplificando a segunda integral:
Passo 9
Juntando tudo:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
A)
B)
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Mostre que o limite nāo existe.
Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas:
Verifique que se
é derivável em
, então
é contínua neste ponto. Dê um exemplo mostrando que
pode ser contínua em um ponto sem ser derivável nele.