Calcule os limites.
lim substackx 0 y 0 raizy+4-raiz4y x^2+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim substackx 0 y 0 raizy+4-raiz4y x^2+y
Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, ou seja, quando tanto quanto se aproximam de 0. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites, especialmente em funções com radicais e frações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador:
raizy+4 - raiz4 = raizy+4 - 2
Queremos simplificar essa diferença de radicais. Uma técnica útil é multiplicar e dividir pelo conjugado para se livrar do radical no numerador.

Passo 3

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
raizy+4 - 2y x^2 + y times raizy+4 + 2raizy+4 + 2 = (raizy+4)^2 - (2)^2(y x^2 + y)(raizy+4 + 2)
Simplificando o numerador:
(y + 4) - 4 = y
Então, a expressão fica:
y(y x^2 + y)(raizy+4 + 2)

Passo 4

Agora, percebemos que yy(x^2 + 1)(raizy+4 + 2) = 1(x^2 + 1)(raizy+4 + 2) está presente tanto no numerador quanto no denominador. Podemos fatorar no denominador:
Isso simplifica bastante a expressão!

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 0, y to 0 1(x^2 + 1)(raizy+4 + 2) e 1(0 + 1)(raiz0+4 + 2) = 11 times (2 + 2) = 14 tendem a 0:
Substituindo e :

Resposta

O limite é .

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