Mostre que o limite nāo existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite não existe quando também tende a 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites multivariáveis e verificar se o resultado do limite depende do caminho que a gente escolhe para chegar ao ponto . Se o resultado variar, isso mostra que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para avaliar limites de funções de duas variáveis, a gente precisa verificar se o limite é o mesmo independente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto (neste caso, ). Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, isso prova que o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para chegar em :
  1. Caminho 1:
    Substituindo na função, temos:

    Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
  2. Caminho 2:
    Substituindo na função, temos:

    Então, o limite ao longo desse caminho é .

Passo 4

Agora, comparando os dois resultados:
  • Pelo Caminho 1, o limite é 0.
  • Pelo Caminho 2, o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso mostra que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque seus valores variam conforme o caminho de aproximação a .

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Construa o gráfico e calcule a área da região limitada pelas curvas:
Mostre que o limite nāo existe.

Calcule os limites.
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
A)
B)