Mostre que o limite nāo existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o limite
não existe quando
também tende a 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites multivariáveis e verificar se o resultado do limite depende do caminho que a gente escolhe para chegar ao ponto
. Se o resultado variar, isso mostra que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para avaliar limites de funções de duas variáveis, a gente precisa verificar se o limite é o mesmo independente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto (neste caso,
). Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, isso prova que o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para chegar em
:
-
Caminho 1:
Substituindona função, temos:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0. -
Caminho 2:
Substituindona função, temos:
Então, o limite ao longo desse caminho é.
Passo 4
Agora, comparando os dois resultados:
- Pelo Caminho 1, o limite é 0.
- Pelo Caminho 2, o limite é
.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso mostra que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque seus valores variam conforme o caminho de aproximação a
.
Exercícios relacionados
Construa o gráfico e calcule a área da região limitada pelas curvas:
Mostre que o limite nāo existe.
Calcule os limites.
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
A)
B)
A)
B)