Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Estamos lidando com uma integral no assunto de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Vamos calcular
. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral observando que temos potências ímpares de seno e de cosseno. É útil separar um fator de seno ou cosseno para facilitar a substituição. Vou separar um
:
Passo 3
Agora, usamos a identidade
:
Substituindo na integral:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição. Definimos:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral é:
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Investigar as integrais impróprias:
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Determine o domínio das seguintes funções:
Determine a derivada das seguintes funções usando a definição: