Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral sin ^3 2 theta cos ^4 2 theta d theta

Passo 1

Estamos lidando com uma integral no assunto de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Vamos calcular . Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral observando que temos potências ímpares de seno e de cosseno. É útil separar um fator de seno ou cosseno para facilitar a substituição. Vou separar um integral sin^3 2theta cos^4 2theta , dtheta = integral sin^2 2theta cdot sin 2theta cos^4 2theta , dtheta :

Passo 3

Agora, usamos a identidade sin^2 2theta = 1 - cos^2 2theta :
integral (1 - cos^2 2theta) cdot sin 2theta cos^4 2theta , dtheta
Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição. Definimos:
u = cos 2theta
Então, a derivada de dudtheta = -2 sin 2theta Rightarrow -12 du = sin 2theta , dtheta em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) u^4 cdot (-12 du)
Simplificando:
-12 integral (u^4 - u^6) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
-12 ( u^55 - u^77 ) + C

Passo 7

Finalmente, substituímos -12 ( cos^5 2theta5 - cos^7 2theta7 ) + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é:
-12 ( cos^5 2theta5 - cos^7 2theta7 ) + C

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