Investigar as integrais impróprias:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que investigar a integral imprópria
. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, que são integrais definidas onde o integrando não é definido em algum ponto do intervalo de integração ou tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com limites e entender como calcular integrais cujo denominador pode se tornar zero.
Passo 2
Identificamos que o ponto problemático é quando
, pois
, tornando o denominador zero e a integral indefinida nesse ponto. Por isso, a integral é imprópria no limite superior.
Passo 3
Para resolver uma integral imprópria, substituímos o ponto problemático por uma variável que tende a esse ponto. Então, reescrevemos a integral como:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Sabemos que a integral de
é
. Aqui,
, então:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
, temos:
Como
, fica:
Passo 6
Agora, voltamos ao limite que definimos:
Sabemos que
.
Resposta
Portanto, a integral imprópria
converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Suponha que
tenha uma derivada positiva para todos os valores de
e que
. Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira para a função
Justifique suas respostas.
(a) é uma função diferenciável de
.
(b) é uma função contínua de
.
© O gráfico de tem uma tangente horizontal em
.
(d) tem um máximo local em
.
(e) O gráfico de tem um ponto de inflexão em
.
(a)
(b)
© O gráfico de
(d)
(e) O gráfico de
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Determine o domínio das seguintes funções: