Investigar as integrais impróprias:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que investigar a integral imprópria . Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, que são integrais definidas onde o integrando não é definido em algum ponto do intervalo de integração ou tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com limites e entender como calcular integrais cujo denominador pode se tornar zero.

Passo 2

Identificamos que o ponto problemático é quando , pois , tornando o denominador zero e a integral indefinida nesse ponto. Por isso, a integral é imprópria no limite superior.

Passo 3

Para resolver uma integral imprópria, substituímos o ponto problemático por uma variável que tende a esse ponto. Então, reescrevemos a integral como:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . Sabemos que a integral de é . Aqui, , então:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de a , temos:
Como , fica:

Passo 6

Agora, voltamos ao limite que definimos:
Sabemos que .

Resposta

Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Suponha que tenha uma derivada positiva para todos os valores de e que . Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira para a função
Justifique suas respostas.
(a) é uma função diferenciável de .
(b) é uma função contínua de .
© O gráfico de tem uma tangente horizontal em .
(d) tem um máximo local em .
(e) O gráfico de tem um ponto de inflexão em .
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Determine o domínio das seguintes funções: