Investigar as integrais impróprias: integral0^3 d xraiz9-x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que investigar a integral imprópria integral0^3 d xraiz9-x^2. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, que são integrais definidas onde o integrando não é definido em algum ponto do intervalo de integração ou tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com limites e entender como calcular integrais cujo denominador pode se tornar zero.

Passo 2

Identificamos que o ponto problemático é quando x = 3, pois raiz9 - 3^2 = raiz0 = 0, tornando o denominador zero e a integral indefinida nesse ponto. Por isso, a integral é imprópria no limite superior.

Passo 3

Para resolver uma integral imprópria, substituímos o ponto problemático por uma variável que tende a esse ponto. Então, reescrevemos a integral como:
integral0^3 d xraiz9-x^2 = limb to 3^- integral0^b d xraiz9-x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral d xraiz9 - x^2. Sabemos que a integral de 1raiza^2 - x^2 é arcsin(xa) + C. Aqui, a = 3, então:
integral d xraiz9 - x^2 = arcsin(x3) + C

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a b, temos:
integral0^b d xraiz9 - x^2 = arcsin(b3) - arcsin(03)
Como arcsin(0) = 0, fica:
arcsin(b3)

Passo 6

Agora, voltamos ao limite que definimos:
limb to 3^- arcsin(b3) = arcsin(33) = arcsin(1)
Sabemos que arcsin(1) = pi2.

Resposta

Portanto, a integral imprópria integral0^3 d xraiz9-x^2 converge e seu valor é pi2.

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