Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Passo 1
Vamos resolver a integral imprópria
. Nosso objetivo é verificar se essa integral converge e, se sim, determinar seu valor. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição que facilite o cálculo. Vamos definir
. Isso nos ajuda porque o denominador da fração contém
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Agora, temos uma integral mais simples:
Sabemos que
.
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.