Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.

Passo 1

Vamos resolver a integral imprópria . Nosso objetivo é verificar se essa integral converge e, se sim, determinar seu valor. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição que facilite o cálculo. Vamos definir . Isso nos ajuda porque o denominador da fração contém .

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na integral original:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
Sabemos que .

Passo 6

Aplicando os limites de integração:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Suponha que tenha uma derivada positiva para todos os valores de e que . Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira para a função
Justifique suas respostas.
(a) é uma função diferenciável de .
(b) é uma função contínua de .
© O gráfico de tem uma tangente horizontal em .
(d) tem um máximo local em .
(e) O gráfico de tem um ponto de inflexão em .
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Investigar as integrais impróprias:
Calcule as integrais indefinidas abaixo: