Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor. integrale^+infty d xx(ln x)^2

Passo 1

Vamos resolver a integral imprópria . Nosso objetivo é verificar se essa integral converge e, se sim, determinar seu valor. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição que facilite o cálculo. Vamos definir . Isso nos ajuda porque o denominador da fração contém .

Passo 3

Calculando a derivada de du = 1x dx Rightarrow dx = x , du em relação a :

Passo 4

Substituindo integrale^+infty dxx(ln x)^2 = integralu=1^+infty x , dux cdot u^2 = integral1^+infty duu^2 e na integral original:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
integral1^+infty duu^2
Sabemos que .

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
[-1u]1^+infty = (0 - (-1)) = 1

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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