Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Passo 1
Vamos resolver a integral imprópria
. Nosso objetivo é verificar se essa integral converge e, se sim, determinar seu valor. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição que facilite o cálculo. Vamos definir
. Isso nos ajuda porque o denominador da fração contém
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Agora, temos uma integral mais simples:
Sabemos que
.
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
tenha uma derivada positiva para todos os valores de
e que
. Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira para a função
Justifique suas respostas.
(a) é uma função diferenciável de
.
(b) é uma função contínua de
.
© O gráfico de tem uma tangente horizontal em
.
(d) tem um máximo local em
.
(e) O gráfico de tem um ponto de inflexão em
.
(a)
(b)
© O gráfico de
(d)
(e) O gráfico de
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Investigar as integrais impróprias:
Calcule as integrais indefinidas abaixo: