Determine a derivada das seguintes funções usando a definição:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Vou te explicar cada passo e os conceitos que a gente vai usar, ok?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em um ponto específico. A definição matemática da derivada de em relação a é dada por:
Essa fórmula nos mostra como calcular a derivada usando limites.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, substituímos e na fórmula:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para eliminar a raiz. A conjugada de é . Vamos fazer isso:
Multiplicando os numeradores e denominadores:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora, podemos cancelar o no numerador e denominador:
Com tendendo a 0, aproxima-se de . Então:

Resposta

A derivada da função é:

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Determine o domínio das seguintes funções:
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Calcule os seguintes limites:
Determine a derivada das seguintes funções usando a definição: