Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral indefinida de
. Esse exercício faz parte do cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar de uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que converte o produto de seno e cosseno em uma soma de senos. A identidade é:
Nesse caso,
e
. Vamos aplicar essa identidade à nossa integral.
Passo 3
Substituindo
e
na identidade:
Sabemos que
, então fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Integrando
:
Integrando
:
Resposta
Juntando tudo, a integral fica:
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Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Investigar as integrais impróprias:
Suponha que
tenha uma derivada positiva para todos os valores de
e que
. Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira para a função
Justifique suas respostas.
(a) é uma função diferenciável de
.
(b) é uma função contínua de
.
© O gráfico de tem uma tangente horizontal em
.
(d) tem um máximo local em
.
(e) O gráfico de tem um ponto de inflexão em
.
(a)
(b)
© O gráfico de
(d)
(e) O gráfico de
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.