Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral sin 3 x cos 5 x d x

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral indefinida de sin 3x cdot cos 5x , dx. Esse exercício faz parte do cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar de uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que converte o produto de seno e cosseno em uma soma de senos. A identidade é:
sin A cos B = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Nesse caso, A = 3x e B = 5x. Vamos aplicar essa identidade à nossa integral.

Passo 3

Substituindo A e B na identidade:
sin 3x cos 5x = 12 [sin(3x + 5x) + sin(3x - 5x)] = 12 [sin 8x + sin(-2x)]
Sabemos que sin(-2x) = -sin 2x, então fica:
sin 3x cos 5x = 12 [sin 8x - sin 2x]

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
integral sin 3x cos 5x , dx = 12 integral (sin 8x - sin 2x) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando sin 8x:
integral sin 8x , dx = -18 cos 8x + C
Integrando -sin 2x:
integral -sin 2x , dx = 12 cos 2x + C

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral sin 3x cos 5x , dx = 12 ( -18 cos 8x + 12 cos 2x ) + C = -116 cos 8x + 14 cos 2x + C

Exercícios relacionados