Calcule as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral indefinida de . Esse exercício faz parte do cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar de uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que converte o produto de seno e cosseno em uma soma de senos. A identidade é:
Nesse caso, e . Vamos aplicar essa identidade à nossa integral.

Passo 3

Substituindo e na identidade:
Sabemos que , então fica:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando :
Integrando :

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Investigar as integrais impróprias:
Suponha que tenha uma derivada positiva para todos os valores de e que . Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira para a função
Justifique suas respostas.
(a) é uma função diferenciável de .
(b) é uma função contínua de .
© O gráfico de tem uma tangente horizontal em .
(d) tem um máximo local em .
(e) O gráfico de tem um ponto de inflexão em .
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.