Suponha que
tenha uma derivada positiva para todos os valores de
e que
. Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira para a função
Justifique suas respostas.
(a)
é uma função diferenciável de
.
(b)
é uma função contínua de
.
© O gráfico de
tem uma tangente horizontal em
.
(d)
tem um máximo local em
.
(e) O gráfico de
tem um ponto de inflexão em
.
(a)
(b)
© O gráfico de
(d)
(e) O gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função
que sempre está crescendo (porque sua derivada é positiva para todo
) e sabemos que
. A gente precisa analisar algumas propriedades da função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, derivadas e propriedades de funções contínuas e diferenciáveis.
Passo 2
(a)
é uma função diferenciável de
.
Vamos lembrar que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
é contínua em um intervalo, então a função
é diferenciável nesse intervalo, e sua derivada é
. Como
tem derivada positiva para todo
, ela é contínua, então
também é diferenciável. Portanto, a afirmação a é verdadeira.
Passo 3
(b)
é uma função contínua de
.
Continuando com o Teorema Fundamental do Cálculo, uma função definida por uma integral de uma função contínua é, por definição, contínua. Como
é contínua (já que tem derivada positiva em todo
),
também será contínua. Então, a afirmação b é verdadeira.
Passo 4
© O gráfico de
tem uma tangente horizontal em
.
Para saber se há uma tangente horizontal, precisamos ver se a derivada de
é zero nesse ponto. A derivada de
é
. Sabemos que
, então
. Isso significa que a inclinação da tangente em
é zero, ou seja, a tangente é horizontal. Logo, a afirmação c é verdadeira.
Passo 5
(d)
tem um máximo local em
.
Para determinar se há um máximo local, vamos analisar a derivada segunda de
. Sabemos que
e, como
tem derivada positiva,
. Isso significa que
, indicando que a concavidade de
é para cima em todos os pontos. Em
, como
e a concavidade é para cima, na verdade,
é um ponto de mínimo local, não de máximo. Portanto, a afirmação d é falsa.
Passo 6
(e) O gráfico de
tem um ponto de inflexão em
.
Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal. Já vimos que
para todo
, então a concavidade de
é sempre para cima e não muda. Logo, não há ponto de inflexão em
. Assim, a afirmação e é falsa.
Resposta
As afirmações a, b e c são verdadeiras.
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