Suponha que tenha uma derivada positiva para todos os valores de e que . Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira para a função
Justifique suas respostas.
(a) é uma função diferenciável de .
(b) é uma função contínua de .
© O gráfico de tem uma tangente horizontal em .
(d) tem um máximo local em .
(e) O gráfico de tem um ponto de inflexão em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que sempre está crescendo (porque sua derivada é positiva para todo ) e sabemos que . A gente precisa analisar algumas propriedades da função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, derivadas e propriedades de funções contínuas e diferenciáveis.

Passo 2

(a) é uma função diferenciável de .
Vamos lembrar que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se é contínua em um intervalo, então a função é diferenciável nesse intervalo, e sua derivada é . Como tem derivada positiva para todo , ela é contínua, então também é diferenciável. Portanto, a afirmação a é verdadeira.

Passo 3

(b) é uma função contínua de .
Continuando com o Teorema Fundamental do Cálculo, uma função definida por uma integral de uma função contínua é, por definição, contínua. Como é contínua (já que tem derivada positiva em todo ), também será contínua. Então, a afirmação b é verdadeira.

Passo 4

© O gráfico de tem uma tangente horizontal em .
Para saber se há uma tangente horizontal, precisamos ver se a derivada de é zero nesse ponto. A derivada de é . Sabemos que , então . Isso significa que a inclinação da tangente em é zero, ou seja, a tangente é horizontal. Logo, a afirmação c é verdadeira.

Passo 5

(d) tem um máximo local em .
Para determinar se há um máximo local, vamos analisar a derivada segunda de . Sabemos que e, como tem derivada positiva, . Isso significa que , indicando que a concavidade de é para cima em todos os pontos. Em , como e a concavidade é para cima, na verdade, é um ponto de mínimo local, não de máximo. Portanto, a afirmação d é falsa.

Passo 6

(e) O gráfico de tem um ponto de inflexão em .
Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal. Já vimos que para todo , então a concavidade de é sempre para cima e não muda. Logo, não há ponto de inflexão em . Assim, a afirmação e é falsa.

Resposta

As afirmações a, b e c são verdadeiras.

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