Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Estamos recebendo para calcular a integral indefinida de
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente, integrando funções trigonométricas elevadas a uma potência. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição e uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar
. Sabemos que:
Aplicando isso, temos:
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
Passo 4
Para resolver essas integrais, vamos fazer uma substituição. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Ou, rearranjando:
Passo 5
Agora, substituímos na primeira integral:
Passo 6
Para a segunda integral, temos:
Usando a substituição
, sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Podemos deixar a resposta dessa forma, já que está simplificada.
Resposta
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Investigar as integrais impróprias:
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Suponha que
tenha uma derivada positiva para todos os valores de
e que
. Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira para a função
Justifique suas respostas.
(a) é uma função diferenciável de
.
(b) é uma função contínua de
.
© O gráfico de tem uma tangente horizontal em
.
(d) tem um máximo local em
.
(e) O gráfico de tem um ponto de inflexão em
.
(a)
(b)
© O gráfico de
(d)
(e) O gráfico de