Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral sin ^3(2 x+1) d x

Passo 1

Estamos recebendo para calcular a integral indefinida de sin^3(2x + 1) , dx. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente, integrando funções trigonométricas elevadas a uma potência. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição e uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar sin^3(2x + 1). Sabemos que:
sin^3 theta = sin theta (1 - cos^2 theta)
Aplicando isso, temos:
sin^3(2x + 1) = sin(2x + 1) (1 - cos^2(2x + 1))

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
integral sin^3(2x + 1) , dx = integral sin(2x + 1) , dx - integral sin(2x + 1) cos^2(2x + 1) , dx

Passo 4

Para resolver essas integrais, vamos fazer uma substituição. Seja:
u = cos(2x + 1)
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -2 sin(2x + 1)
Ou, rearranjando:
sin(2x + 1) , dx = -12 du

Passo 5

Agora, substituímos na primeira integral:
integral sin(2x + 1) , dx = -12 integral du = -12 u + C = -12 cos(2x + 1) + C

Passo 6

Para a segunda integral, temos:
integral sin(2x + 1) cos^2(2x + 1) , dx = integral cos^2(2x + 1) sin(2x + 1) , dx
Usando a substituição u = cos(2x + 1), sabemos que sin(2x + 1) , dx = -12 du, então:
= -12 integral u^2 , du = -12 cdot u^33 + C = -u^36 + C = -cos^3(2x + 1)6 + C

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
-12 cos(2x + 1) + cos^3(2x + 1)6 + C
Podemos deixar a resposta dessa forma, já que está simplificada.

Resposta

-12 cos(2x + 1) + cos^3(2x + 1)6 + C

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