Calcule as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Estamos recebendo para calcular a integral indefinida de . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente, integrando funções trigonométricas elevadas a uma potência. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição e uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar . Sabemos que:
Aplicando isso, temos:

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes:

Passo 4

Para resolver essas integrais, vamos fazer uma substituição. Seja:
Então, a derivada de em relação a é:
Ou, rearranjando:

Passo 5

Agora, substituímos na primeira integral:

Passo 6

Para a segunda integral, temos:
Usando a substituição , sabemos que , então:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Podemos deixar a resposta dessa forma, já que está simplificada.

Resposta

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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Suponha que tenha uma derivada positiva para todos os valores de e que . Qual das afirmações a seguir deve ser verdadeira para a função
Justifique suas respostas.
(a) é uma função diferenciável de .
(b) é uma função contínua de .
© O gráfico de tem uma tangente horizontal em .
(d) tem um máximo local em .
(e) O gráfico de tem um ponto de inflexão em .