Investigar as integrais impróprias:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tá vendo uma integral imprópria, que é . Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, que são integrais onde os limites de integração vão até o infinito ou onde a função não é contínua no intervalo. Para resolver isso, a gente vai precisar usar limites e saber integrar funções do tipo potência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que a gente possa trabalhar melhor com o infinito. A gente substitui o limite superior por uma variável, digamos , e depois vemos o que acontece quando cresce sem parar. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar a função . Sabemos que é igual a . A regra de integração para potências é:
onde . No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração, de a :
Perceba que no segundo termo, temos , o que faria uma divisão por zero. Isso indica que a integral pode estar divergindo.

Passo 5

Vamos analisar o limite quando tende ao infinito:
O primeiro termo, , tende a quando vai para o infinito. O segundo termo envolve uma divisão por zero, o que sugere que a integral não converge.

Resposta

A integral imprópria não converge, ou seja, diverge para .

Exercícios relacionados

Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Calcule as integrais indefinidas abaixo: