Investigar as integrais impróprias:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tá vendo uma integral imprópria, que é
. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, que são integrais onde os limites de integração vão até o infinito ou onde a função não é contínua no intervalo. Para resolver isso, a gente vai precisar usar limites e saber integrar funções do tipo potência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que a gente possa trabalhar melhor com o infinito. A gente substitui o limite superior por uma variável, digamos
, e depois vemos o que acontece quando
cresce sem parar. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
. Sabemos que
é igual a
. A regra de integração para potências é:
onde
. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites de integração, de
a
:
Perceba que no segundo termo, temos
, o que faria uma divisão por zero. Isso indica que a integral pode estar divergindo.
Passo 5
Vamos analisar o limite quando
tende ao infinito:
O primeiro termo,
, tende a
quando
vai para o infinito. O segundo termo envolve uma divisão por zero, o que sugere que a integral não converge.
Resposta
A integral imprópria
não converge, ou seja, diverge para
.