Investigar as integrais impróprias: integral1^+infty d x(x-1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tá vendo uma integral imprópria, que é integral1^+infty dx(x-1)^3. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, que são integrais onde os limites de integração vão até o infinito ou onde a função não é contínua no intervalo. Para resolver isso, a gente vai precisar usar limites e saber integrar funções do tipo potência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que a gente possa trabalhar melhor com o infinito. A gente substitui o limite superior por uma variável, digamos b, e depois vemos o que acontece quando b cresce sem parar. Então, temos:
integral1^+infty dx(x-1)^3 = limb to +infty integral1^b dx(x-1)^3

Passo 3

Agora, vamos integrar a função 1(x-1)^3. Sabemos que 1(x-1)^3 é igual a (x-1)^-3. A regra de integração para potências é:
integral (x - a)^n dx = (x - a)^n+1n+1 + C
onde n neq -1. No nosso caso, n = -3, então:
integral dx(x-1)^3 = integral (x - 1)^-3 dx = (x - 1)^-2-2 + C = -12(x - 1)^2 + C

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração, de 1 a b:
integral1^b dx(x-1)^3 = [ -12(x - 1)^2 ]1^b = -12(b - 1)^2 - ( -12(1 - 1)^2 )
Perceba que no segundo termo, temos (1 - 1)^2 = 0, o que faria uma divisão por zero. Isso indica que a integral pode estar divergindo.

Passo 5

Vamos analisar o limite quando b tende ao infinito:
limb to +infty ( -12(b - 1)^2 - ( -12(0)^2 ) )
O primeiro termo, -12(b - 1)^2, tende a 0 quando b vai para o infinito. O segundo termo envolve uma divisão por zero, o que sugere que a integral não converge.

Resposta

A integral imprópria integral1^+infty dx(x-1)^3 não converge, ou seja, diverge para +infty.

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