Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(q)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral. A questão pede para calcular a integral indefinida de √(x - x²) em relação a x. Isso tudo está dentro da área de Cálculo Integral, onde trabalhamos com integrais que nos ajudam a encontrar funções originais a partir de suas derivadas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição e talvez simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz: √(x - x²). Podemos reescrever isso como √(x(1 - x)). Isso já nos dá uma pista de que uma substituição trigonométrica pode ser útil aqui, mas antes disso, vamos simplificar um pouco mais a expressão para torná-la mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Vamos completar o quadrado na expressão x - x² para facilitar a integração. Reescrevendo:
x - x² = -x² + x
Podemos colocar isso na forma de um quadrado perfeito:
-x² + x = - (x² - x) = - [x² - x + (1/4) - (1/4)] = - [(x - 1/2)² - 1/4] = 1/4 - (x - 1/2)²
Agora, a expressão original fica:
√(x - x²) = √[1/4 - (x - 1/2)²]

Passo 4

Agora, a integral fica:
∫ √[1/4 - (x - 1/2)²] dx
Essa expressão é semelhante à forma √(a² - u²), cuja integral sabemos como resolver usando substituições trigonométricas. Sabemos que:
∫ √(a² - u²) du = (u/2)√(a² - u²) + (a²/2) arcsin(u/a) + C

Passo 5

Comparando com a nossa integral, temos:
a² = 1/4 ⇒ a = 1/2
u = x - 1/2
Portanto, a integral se torna:
∫ √(1/4 - (x - 1/2)²) dx = ∫ √(a² - u²) du
Aplicando a fórmula que mencionamos:
= (u/2)√(a² - u²) + (a²/2) arcsin(u/a) + C

Passo 6

Substituindo de volta os valores de u e a:
= [(x - 1/2)/2] √[1/4 - (x - 1/2)²] + (1/4)/2 arcsin[(x - 1/2)/(1/2)] + C
Simplificando:
= (x - 1/2)/2 * √(x - x²) + (1/8) arcsin(2x - 1) + C

Resposta

A integral de √(x - x²) em relação a x é:

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