Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral(x+1)^2 x^-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: integral(x+1)^2 x^-2 , dx. Aqui, a gente vai usar álgebra para simplificar a expressão e depois aplicar as regras básicas de integração. Vamos precisar expandir o polinômio e simplificar os termos antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (x + 1)^2. Isso significa multiplicar (x + 1) por ele mesmo:
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

Passo 3

Agora, substituímos a expansão na integral original:
integral (x^2 + 2x + 1)x^2 , dx

Passo 4

Vamos dividir cada termo do numerador por x^2:
integral ( x^2x^2 + 2xx^2 + 1x^2 ) , dx
Simplificando cada fração:
integral (1 + 2x^-1 + x^-2) , dx

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente usando as regras de integração:
  • A integral de 1 em relação a x é x.
  • A integral de 2x^-1 é 2ln|x|.
  • A integral de x^-2 é -x^-1.
Então:
x + 2ln|x| - 1x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
x + 2ln|x| - 1x + C

Exercícios relacionados