Determine o domínio de f(t) = (ln(t + 3), 1/(t - 2), t^2 - 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função vetorial f(t) = (ln(t + 3), 1/(t - 2), t^2 - 4). O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de t para os quais a função está definida. Para isso, vamos analisar cada componente da função separadamente e ver quais valores de t são permitidos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: . O logaritmo natural só está definido para números positivos. Então, precisamos que o argumento do logaritmo seja maior que zero:
Isso significa que t deve ser maior que para que essa parte da função exista.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . Aqui, temos uma fração, e sabemos que uma fração só é definida se o denominador for diferente de zero. Portanto:
Então, t não pode ser igual a , caso contrário, a fração não existe.

Passo 4

Por último, a terceira componente é . Essa é uma função polinomial, que está definida para todos os números reais. Não há restrições aqui, então essa parte da função não limita o domínio.

Passo 5

Agora, para encontrar o domínio da função vetorial completa , precisamos que todas as componentes estejam definidas ao mesmo tempo. Então, combinamos as restrições que encontramos:
  1. (do logaritmo)
  2. (da fração)
Isso significa que o domínio de é todos os números reais maiores que , exceto .

Resposta

O domínio de é dado por:

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