Calcule as integrais indefinidas abaixo: (1 ponto) integral cossec^2 thetaraiz[7]cotg theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de em relação a . Para isso, vamos usar técnicas de substituição trigonométrica e um pouco de álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que é igual a e é igual a . Mas para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição inteligente.

Passo 3

Vamos deixar dudtheta = -cosec^2 theta . Agora, precisamos encontrar a derivada de du = -cosec^2 theta , dtheta em relação a :
Rearranjando, temos:

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
Usando , a integral fica:
integral cosec^2 thetaraiz[7]cot theta , dtheta = integral cosec^2 thetau^1/7 , dtheta

Passo 5

Agora, vamos integrar - integral u^-1/7 , du = - ( u^6/76/7 ) + C = -76 u^6/7 + C :

Passo 6

Por fim, substituímos -76 (cot theta)^6/7 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a

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