Utilize o Teorema do valor médio para mostrar que existe um ponto crítico para a função .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que existe um ponto crítico no intervalo para a função . Para isso, vamos precisar saber o que é um ponto crítico, entender o Teorema do Valor Médio e como aplicá-lo nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um ponto crítico de uma função é um ponto onde a derivada da função é igual a zero, ou seja, . Isso indica que em a função tem uma inclinação horizontal, podendo ser um máximo, mínimo ou um ponto de inflexão.

Passo 3

Agora, vamos relembrar o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse teorema afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Vamos aplicar esse teorema à nossa função para encontrar o ponto .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a derivada da função :
Derivando termo a termo:

Passo 5

Vamos aplicar o TVM no intervalo . Segundo o TVM, existe pelo menos um ponto em tal que:

Passo 6

Vamos calcular :
Portanto:

Passo 7

Substituindo na equação do TVM:
Isso mostra que existe um ponto em onde , ou seja, um ponto crítico.

Resposta

Existe um ponto crítico no intervalo para a função .

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