Utilize o Teorema do valor médio para mostrar que existe um ponto crítico
para a função
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que existe um ponto crítico
no intervalo
para a função
. Para isso, vamos precisar saber o que é um ponto crítico, entender o Teorema do Valor Médio e como aplicá-lo nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um ponto crítico de uma função é um ponto onde a derivada da função é igual a zero, ou seja,
. Isso indica que em
a função tem uma inclinação horizontal, podendo ser um máximo, mínimo ou um ponto de inflexão.
Passo 3
Agora, vamos relembrar o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse teorema afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Vamos aplicar esse teorema à nossa função para encontrar o ponto
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Vamos aplicar o TVM no intervalo
. Segundo o TVM, existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Passo 6
Vamos calcular
:
Portanto:
Passo 7
Substituindo na equação do TVM:
Isso mostra que existe um ponto
em
onde
, ou seja, um ponto crítico.
Resposta
Existe um ponto crítico
no intervalo
para a função
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas abaixo: (1 ponto)
Calcule as integrais indefinidas abaixo: (1 ponto)
.
Calcule as seguintes integrais duplas.
.
Calcule as seguintes integrais duplas.
.