Encontre a solução do P.V.I. (Problema de Valor Inicial)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (P.V.I.) juntos! A equação que temos é uma equação diferencial de segunda ordem com alguns termos complicados no lado direito. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea e depois achar uma solução particular para os termos não homogêneos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Isso significa que queremos encontrar uma solução que satisfaz essa equação igualando tudo a zero.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar a equação característica. Substituímos por , por , e por 1:

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 5

Como temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos resolver isso termo a termo.

Passo 7

Primeiro, para o termo , tentamos uma solução na forma:
Calculamos as derivadas e substituímos na equação para encontrar e .

Passo 8

Para o termo , tentamos uma solução polinomial:
Substituímos na equação e resolvemos para .

Passo 9

Para o termo constante , tentamos uma solução constante:
Substituímos na equação para encontrar .

Passo 10

Para o termo , tentamos uma solução na forma:
Verificamos se é raiz da equação característica; como não é, substituímos e encontramos .

Passo 11

Somando todas as soluções particulares, temos:

Passo 12

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 13

Usamos as condições iniciais e para encontrar as constantes e .
Calculando :
E calculando :
Resolvendo essas equações, encontramos e .

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:
onde é a solução particular obtida somando as soluções para cada termo não homogêneo, e , são constantes determinadas pelas condições iniciais e .

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(q)
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