Questão: Corta-se um pedaço de arame de
de comprimento em duas partes. Uma parte será dobrada em forma de círculo e a outra em uma forma quadrada. Como deverá ser cortado o arame para que:
(a) a soma das áreas das duas figuras seja a menor possível?
(a) a soma das áreas das duas figuras seja a menor possível?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos um arame de 2 metros que vamos cortar em duas partes. Uma parte vai formar um círculo e a outra, um quadrado. Nosso objetivo é descobrir como cortar o arame para que a soma das áreas dessas duas figuras seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo de derivadas para otimização.
Passo 2
Vamos chamar o comprimento do arame usado para o círculo de
e para o quadrado de
. Sabemos que
metros, já que o total do arame é 2 metros.
Passo 3
Primeiro, vamos relacionar o comprimento do círculo com seu raio. A fórmula do perímetro do círculo é
. Daí, podemos isolar
:
Passo 4
A área do círculo é dada por
. Substituindo
da etapa anterior:
Passo 5
Agora, para o quadrado. O perímetro do quadrado é
, onde
é o lado do quadrado. Então, podemos encontrar
:
Passo 6
A área do quadrado é
. Substituindo
:
Passo 7
Queremos minimizar a soma das áreas:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 8
Para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Simplificando:
Passo 9
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Somando
aos dois lados:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 10
Agora, encontramos
:
Resposta
Para que a soma das áreas seja a menor possível, o arame deve ser cortado de modo que:
- Comprimento para o círculo:
metros - Comprimento para o quadrado:
metros