Calcule as integrais indefinidas abaixo.
® integral raiz5-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver a integral indefinida integral raiz5 - 4x^2 , dx. Aqui, estamos lidando com uma função que envolve uma raiz quadrada de uma expressão do segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que têm essa forma específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição. Observe que:
raiz5 - 4x^2 = raiz5 - (2x)^2
Isso se parece com a forma padrão raiza^2 - u^2, onde a é uma constante. Nesse caso, podemos identificar a^2 = 5 e u = 2x.
Então, vamos definir uma nova variável para facilitar:
u = 2x implies x = u2 implies dx = du2

Passo 3

Substituindo x e dx na integral original, temos:
integral raiz5 - 4x^2 , dx = integral raiz5 - u^2 cdot du2 = 12 integral raiz5 - u^2 , du
Agora, precisamos lembrar de uma fórmula de integração que lida com expressões da forma raiza^2 - u^2. A integral de raiza^2 - u^2 é dada por:
integral raiza^2 - u^2 , du = u2 raiza^2 - u^2 + a^22 arcsin( ua ) + C
Onde C é a constante de integração.
No nosso caso, a^2 = 5, então a = raiz5. Aplicando a fórmula:
integral raiz5 - u^2 , du = u2 raiz5 - u^2 + 52 arcsin( uraiz5 ) + C
Multiplicando tudo por 12 (lá do Passo 2):
12 integral raiz5 - u^2 , du = u4 raiz5 - u^2 + 54 arcsin( uraiz5 ) + C

Passo 4

Agora, vamos voltar à variável original x. Lembrando que u = 2x, substituímos de volta:
u4 raiz5 - u^2 = 2x4 raiz5 - (2x)^2 = x2 raiz5 - 4x^2
E para a parte do arco seno:
54 arcsin( uraiz5 ) = 54 arcsin( 2xraiz5 )
Juntando tudo, temos:
x2 raiz5 - 4x^2 + 54 arcsin( 2xraiz5 ) + C

Resposta

A integral indefinida é:
x2 raiz5 - 4x^2 + 54 arcsin( 2xraiz5 ) + C

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