Calcule as integrais indefinidas abaixo.
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Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com uma função que envolve uma raiz quadrada de uma expressão do segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que têm essa forma específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição. Observe que:
Isso se parece com a forma padrão , onde é uma constante. Nesse caso, podemos identificar e .
Então, vamos definir uma nova variável para facilitar:

Passo 3

Substituindo e na integral original, temos:
Agora, precisamos lembrar de uma fórmula de integração que lida com expressões da forma . A integral de é dada por:
Onde é a constante de integração.
No nosso caso, , então . Aplicando a fórmula:
Multiplicando tudo por (lá do Passo 2):

Passo 4

Agora, vamos voltar à variável original . Lembrando que , substituímos de volta:
E para a parte do arco seno:
Juntando tudo, temos:

Resposta

A integral indefinida é:

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Questão: Corta-se um pedaço de arame de de comprimento em duas partes. Uma parte será dobrada em forma de círculo e a outra em uma forma quadrada. Como deverá ser cortado o arame para que:
(a) a soma das áreas das duas figuras seja a menor possível?
Encontre a solução do P.V.I. (Problema de Valor Inicial)
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(x)
Encontre a solução do P.V.I. (Problema de Valor Inicial)