Calcule as integrais indefinidas abaixo.
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Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos lidando com uma função que envolve uma raiz quadrada de uma expressão do segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que têm essa forma específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição. Observe que:
Isso se parece com a forma padrão
, onde
é uma constante. Nesse caso, podemos identificar
e
.
Então, vamos definir uma nova variável para facilitar:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, precisamos lembrar de uma fórmula de integração que lida com expressões da forma
. A integral de
é dada por:
Onde
é a constante de integração.
No nosso caso,
, então
. Aplicando a fórmula:
Multiplicando tudo por
(lá do Passo 2):
Passo 4
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
E para a parte do arco seno:
Juntando tudo, temos:
Resposta
A integral indefinida é: