Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
integral x^2-2x^3-6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, vamos usar a matéria de Cálculo Integral, especificamente o método da substituição. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . É útil verificar se conseguimos relacionar o numerador com a derivada do denominador, pois isso pode facilitar a integração.

Passo 3

Vamos calcular a derivada do denominador em relação a ddx(x^3 - 6x) = 3x^2 - 6 :
x^2 - 2 = 13(3x^2 - 6)
Observamos que o numerador da nossa integral, , é semelhante a da derivada do denominador:

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral usando essa relação:
integral x^2-2x^3-6x , dx = integral 13(3x^2 - 6)x^3-6x , dx = 13 integral 3x^2 - 6x^3-6x , dx
Perceba que é a derivada do denominador dividida pelo próprio denominador, ou seja, , onde .

Passo 5

Sabemos que 13 integral 3x^2 - 6x^3-6x , dx = 13 ln|x^3 - 6x| + C , onde é a constante de integração. Aplicando isso à nossa integral:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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