Calcule as integrais indefinidas abaixo usando integração imediata ou o método da substituição.
integral sec raizx tg raizx2 raizx d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida . Para resolver essa integral, vamos utilizar o método da substituição, que é uma técnica que simplifica integrais complexas transformando-as em integrais mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos definir:
u = raizx
Isso significa que é igual à raiz quadrada de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 12 x^-1/2 = 12 raizx em relação a dx = 2 raizx , du , ou seja, . Sabendo que , aplicamos a regra de potência:
Rearranjando para encontrar :

Passo 4

Substituímos integral sec raizx tan raizx2 raizx , dx = integral sec u tan u2 raizx cdot 2 raizx , du e integral sec u tan u , du na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral sec u tan u , du = sec u + C em relação a . Sabemos que a integral de é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos sec u + C = sec raizx + C de volta na expressão para obter a solução em termos de :

Resposta

integral sec raizx tan raizx2 raizx , dx = sec raizx + C

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