Dizemos que uma reta y=m x+b é uma assíntota do gráfico de uma função f quando
lim x +infty[f(x)-(m x+b)]=0 ou lim x -infty[f(x)-(m x+b)]=0
Quando m=0, temos a assíntota horizontal y=b. Quando m neq 0, temos uma assíntota oblíqua. por exemplo, a reta y=x-4 é uma assíntota oblíqua de f(x)=x^2-3 x+2x+1, pois
lim x +infty[x^2-3 x+2x+1-(x-4)]=lim x +infty (x^2-3 x+2)-(x^2-3 x-4)x-1=lim x +infty 6x+1=0.
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função f indicada:
8a
y=3 x+2 de f(x)=3 x+2+sin (x)x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com assíntotas, que são retas que o gráfico de uma função se aproxima cada vez mais quando tende ao infinito ou menos infinito. Especificamente, vamos verificar se a reta é uma assíntota da função . Para isso, vamos usar o conceito de limite no cálculo de funções.

Passo 2

Segundo a definição, uma reta limx +infty [f(x) - (mx + b)] = 0 ou limx -infty [f(x) - (mx + b)] = 0 é uma assíntota de se:
No nosso caso, a reta proposta é , então e . Vamos calcular o limite de quando tende a e a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
limx +infty [ f(x) - (3x + 2) ] = limx +infty [ 3x + 2 + sin(x)x - 3x - 2 ]
Simplificando a expressão dentro do limite:
limx +infty [ sin(x)x ]
Sabemos que - 1x <= sin(x)x <= 1x está sempre entre -1 e 1, então:
limx +infty sin(x)x = 0
À medida que tende a , tende a 0. Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:

Passo 4

Agora, vamos verificar o limite quando limx -infty [ f(x) - (3x + 2) ] = limx -infty [ 3x + 2 + sin(x)x - 3x - 2 ] = limx -infty sin(x)x tende a :
Assim como antes, tende a 0 quando tende a .

Resposta

Portanto, a reta é uma assíntota oblíqua da função .

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