Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por partes.
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
usando o método de integração por partes. Esse método é útil para integrar produtos de funções e envolve escolher partes da integral para derivar e integrar. Precisaremos lembrar da fórmula de integração por partes e aplicar de forma repetida até resolver completamente a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que iremos chamar de
e
. A fórmula da integração por partes é:
Para essa integral, escolhemos:
Escolhemos
como uma função polinomial porque ao derivá-la, ela vai simplificar, e
como a parte restante da integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Para encontrar
, integramos
:
Isso porque a integral de
é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Agora, precisamos resolver a nova integral
usando novamente a integração por partes.
Passo 5
Para
, escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Agora, resolvemos
usando integração por partes novamente:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à etapa anterior:
Passo 8
Substituindo de volta na etapa anterior:
Simplificando:
Resposta
A integral indefinida é:
onde
é a constante de integração.