Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração por partes.
integral x^3e^2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida usando o método de integração por partes. Esse método é útil para integrar produtos de funções e envolve escolher partes da integral para derivar e integrar. Precisaremos lembrar da fórmula de integração por partes e aplicar de forma repetida até resolver completamente a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que iremos chamar de integral u , dv = u cdot v - integral v , du e u = x^3 e dv = 1e^2x dx = e^-2x dx . A fórmula da integração por partes é:
Para essa integral, escolhemos:
Escolhemos como uma função polinomial porque ao derivá-la, ela vai simplificar, e como a parte restante da integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx(x^3) dx = 3x^2 dx e v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x :
Para encontrar , integramos :
Isso porque a integral de é .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^3 e^-2x dx = u cdot v - integral v cdot du = x^3 (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) 3x^2 dx
Simplificando:
= -12 x^3 e^-2x + 32 integral x^2 e^-2x dx
Agora, precisamos resolver a nova integral usando novamente a integração por partes.

Passo 5

Para u = x^2 e dv = e^-2x dx , escolhemos:
du = 2x dx e v = -12 e^-2x
Calculando integral x^2 e^-2x dx = -12 x^2 e^-2x - integral (-12 e^-2x) 2x dx e = -12 x^2 e^-2x + integral x e^-2x dx :
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 6

Agora, resolvemos u = x e dv = e^-2x dx usando integração por partes novamente:
du = dx e v = -12 e^-2x
Calculando integral x e^-2x dx = -12 x e^-2x - integral (-12 e^-2x) dx e = -12 x e^-2x + 12 integral e^-2x dx = -12 x e^-2x - 14 e^-2x :
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à etapa anterior:
integral x^2 e^-2x dx = -12 x^2 e^-2x + (-12 x e^-2x - 14 e^-2x) = -12 x^2 e^-2x - 12 x e^-2x - 14 e^-2x

Passo 8

Substituindo de volta na etapa anterior:
integral x^3 e^-2x dx = -12 x^3 e^-2x + 32 (-12 x^2 e^-2x - 12 x e^-2x - 14 e^-2x)
Simplificando:
= -12 x^3 e^-2x - 34 x^2 e^-2x - 34 x e^-2x - 38 e^-2x

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^3e^2x dx = -12 x^3 e^-2x - 34 x^2 e^-2x - 34 x e^-2x - 38 e^-2x + C
onde é a constante de integração.

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