Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da decomposição em frações parciais.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de em relação a . A matéria que vamos usar aqui é a Decomposição em Frações Parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração original como uma soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos fatorar como . Assim, o denominador fica:
Isso nos ajuda a identificar os fatores lineares e quadráticos que vamos usar na decomposição.
Passo 3
Agora, vamos supor que a fração pode ser escrita como a soma de frações parciais com denominadores , , e . Então, temos:
Aqui, , , , e são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos expandir e simplificar o lado direito para igualar aos termos do lado esquerdo.
Passo 5
Expandindo cada termo:
Agora, somamos todos esses termos:
Passo 6
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, vamos igualar isso ao lado esquerdo da equação, que é . Para que as duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais.
Passo 7
Igualando os coeficientes:
Observamos que há um erro aqui, já que e são inconsistentes. Vamos revisar os passos anteriores para corrigir.
Passo 8
Na verdade, percebemos que ao expandir os termos com x^3 + 3x + 1(x - 1)x^2(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + Dx + Ex^2 + 1 , duplicamos os termos. O correto é que teríamos somente uma vez cada fração. Então, ajustando a decomposição inicial:
x^3 + 3x + 1 = A x^2(x^2 + 1) + B (x - 1)(x^2 + 1) + C (x - 1)(x^2 + 1) + (Dx + E)(x - 1)x^2
Multiplicando novamente:
Repetindo o processo corretamente, igualamos os coeficientes e resolvemos o sistema.
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
A + D = 0 B + C - D + E = 1 A - B - C - E = 0 B + C = 3 -(B + C) = 1
Aqui percebemos novamente a inconsistência, indicando que devemos refazer a decomposição.
Passo 10
Vamos refazer a decomposição corretamente. De fato, o termo com x^3 + 3x + 1(x - 1)x^2(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + Dx + Ex^2 + 1 deve ser separado para e . A decomposição correta é:
Multiplicando e expandindo, igualamos os coeficientes para encontrar os valores de , , , e .
Passo 11
Após resolver o sistema corrigido, encontramos os valores: