Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração trigonométrica.
integral[sen^2 3 x+cos 3 x]^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Para isso, vamos usar técnicas de integração trigonométrica, como a expansão de expressões e identidades trigonométricas. Precisamos saber como expandir o quadrado de uma soma e aplicar identidades básicas de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão dentro da integral:
[sin^2(3x) + cos(3x)]^2 = sin^4(3x) + 2 sin^2(3x) cos(3x) + cos^2(3x)

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral [ sin^4(3x) + 2 sin^2(3x) cos(3x) + cos^2(3x) ] dx
Vamos separar em três integrais distintas:
integral sin^4(3x) dx + 2 integral sin^2(3x) cos(3x) dx + integral cos^2(3x) dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Começando pela primeira:

Integral 1: sin^2theta = 1 - cos(2theta)2

Para integrar sin^4(3x) = ( sin^2(3x) )^2 = ( 1 - cos(6x)2 )^2 = 14 (1 - 2 cos(6x) + cos^2(6x)) , usamos a identidade de potência reduzida:
integral sin^4(3x) dx = 14 integral (1 - 2 cos(6x) + cos^2(6x)) dx
Aplicando isso duas vezes:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Então, a integral fica:
cos^2(6x) = 1 + cos(12x)2
Para integrar integral sin^4(3x) dx = 14 [ integral 1 dx - 2 integral cos(6x) dx + integral 1 + cos(12x)2 dx ] , usamos novamente a identidade de potência reduzida:
Portanto:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, calculamos cada uma das integrais:
integral 1 dx = x
integral cos(6x) dx = sin(6x)6
integral 1 + cos(12x)2 dx = 12 integral 1 dx + 12 integral cos(12x) dx = x2 + sin(12x)24
Substituindo de volta:
integral sin^4(3x) dx = 14 [ x - 2 cdot sin(6x)6 + x2 + sin(12x)24 ]
= 14 [ 3x2 - sin(6x)3 + sin(12x)24 ]
= 3x8 - sin(6x)12 + sin(12x)96

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral: u = sin(3x) Rightarrow du = 3 cos(3x) dx Rightarrow cos(3x) dx = du3 .
Aqui, percebemos que a expressão 2 integral sin^2(3x) cos(3x) dx = 2 integral u^2 cdot du3 = 23 integral u^2 du = 23 cdot u^33 = 29 u^3 = 29 sin^3(3x) é adequada para uma substituição simples. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 7

A terceira integral é: cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 .
Usamos novamente a identidade de potência reduzida:
integral cos^2(3x) dx = integral 1 + cos(6x)2 dx = 12 integral 1 dx + 12 integral cos(6x) dx = x2 + sin(6x)12
Aplicando:

Passo 8

Finalmente, somamos todas as partes obtidas:
integral[sin^2(3x) + cos(3x)]^2 dx = ( 3x8 - sin(6x)12 + sin(12x)96 ) + ( 29 sin^3(3x) ) + ( x2 + sin(6x)12 ) + C
Simplificando:
  • Os termos com se cancelam: .
  • Os termos com somam: .
  • Os demais termos permanecem: e .

Resposta

integral[sin^2(3x) + cos(3x)]^2 dx = 7x8 + 29 sin^3(3x) + sin(12x)96 + C

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