Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método de integração trigonométrica.
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Para isso, vamos usar técnicas de integração trigonométrica, como a expansão de expressões e identidades trigonométricas. Precisamos saber como expandir o quadrado de uma soma e aplicar identidades básicas de seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão dentro da integral:
Passo 3
Agora, a integral fica:
Vamos separar em três integrais distintas:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Começando pela primeira:
Integral 1:
Para integrar
, usamos a identidade de potência reduzida:
Aplicando isso duas vezes:
Então, a integral fica:
Para integrar
, usamos novamente a identidade de potência reduzida:
Portanto:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, calculamos cada uma das integrais:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda integral:
.
Aqui, percebemos que a expressão
é adequada para uma substituição simples. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 7
A terceira integral é:
.
Usamos novamente a identidade de potência reduzida:
Aplicando:
Passo 8
Finalmente, somamos todas as partes obtidas:
Simplificando:
- Os termos com
se cancelam: . - Os termos com
somam: . - Os demais termos permanecem:
e .