Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da substituição trigonométrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente o método de substituição trigonométrica. Precisamos dividir a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a fração em duas partes:
Assim, temos duas integrais mais simples para resolver.
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
. Aqui, usamos a substituição
.
Então, derivando ambos os lados:
Então, derivando ambos os lados:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral:
. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:
Para resolver essa integral, reconhecemos a forma da integral da função arctangente:
Aqui,
. Então:
Resposta
Juntando as duas integrais, a solução final é: