Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da substituição trigonométrica.
integral x+44 x^2+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x+44 x^2+5 , dx. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente o método de substituição trigonométrica. Precisamos dividir a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração em duas partes:
integral x+44x^2+5 , dx = integral x4x^2+5 , dx + integral 44x^2+5 , dx
Assim, temos duas integrais mais simples para resolver.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral x4x^2+5 , dx. Aqui, usamos a substituição du = 8x , dx Rightarrow du8 = x , dx .
Então, derivando ambos os lados:
integral x4x^2+5 , dx = integral 1u cdot du8 = 18 integral 1u , du = 18 ln|u| + C = 18 ln|4x^2+5|
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral 44x^2+5 , dx. Primeiro, fatoramos o denominador:
4x^2 + 5 = 4(x^2 + 54)
Então, a integral fica:
integral 44x^2+5 , dx = integral 44(x^2 + 54) , dx = integral 1x^2 + 54 , dx
Para resolver essa integral, reconhecemos a forma da integral da função arctangente:
integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a arctan(xa) + C
Aqui, integral 1x^2 + 54 , dx = 2raiz5 arctan(2xraiz5) . Então:

Resposta

Juntando as duas integrais, a solução final é:
integral x+44x^2+5 , dx = 18 ln|4x^2+5| + 2raiz5 arctan(2xraiz5) + C

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