Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de uma fração polinomial, ou seja:
Vamos precisar usar técnicas de integração de polinômios, como a divisão polinomial, para simplificar a expressão e torná-la mais fácil de integrar.
Passo 2
Vamos começar dividindo o numerador pelo denominador. Isso significa dividir por . Para fazer isso, buscamos quantas vezes o denominador cabe no numerador.
Dividindo por dá . Agora multiplicamos pelo denominador:
Subtraímos isso do numerador:
Então, podemos reescrever a fração como:
Passo 3
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo. A integral de é simples:
Passo 4
Agora precisamos integrar . Vamos fatorar o denominador:
Então:
Vamos usar frações parciais para decompor essa fração. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, temos:
Passo 5
Substituindo os valores de 1x(x^2 + 9) = 19x - 19xx^2 + 9 , integral ( 19x - x9(x^2 + 9) ) dx = 19 integral 1x , dx - 19 integral xx^2 + 9 , dx e , temos:
Então, a integral se torna:
Passo 6
Integrando cada termo:
19 integral 1x , dx = 19 ln|x|
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja -19 integral xx^2 + 9 , dx = -19 cdot 12 integral 1u , du = -118 ln|u| = -118 ln|x^2 + 9| , então , ou seja, .