Calcule a integral indefinida.
integral x^5+9 x^3+1x^3+9 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de uma fração polinomial, ou seja:
integral x^5 + 9x^3 + 1x^3 + 9x , dx
Vamos precisar usar técnicas de integração de polinômios, como a divisão polinomial, para simplificar a expressão e torná-la mais fácil de integrar.

Passo 2

Vamos começar dividindo o numerador pelo denominador. Isso significa dividir x^2(x^3 + 9x) = x^5 + 9x^3 por (x^5 + 9x^3 + 1) - (x^5 + 9x^3) = 1 . Para fazer isso, buscamos quantas vezes o denominador cabe no numerador.
Dividindo x^5 + 9x^3 + 1x^3 + 9x = x^2 + 1x^3 + 9x por . Agora multiplicamos pelo denominador:
Subtraímos isso do numerador:
Então, podemos reescrever a fração como:

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral ( x^2 + 1x^3 + 9x ) dx
Vamos integrar termo a termo. A integral de integral x^2 , dx = x^33 + C é simples:

Passo 4

Agora precisamos integrar x^3 + 9x = x(x^2 + 9) . Vamos fatorar o denominador:
1x^3 + 9x = 1x(x^2 + 9)
Então:
1x(x^2 + 9) = Ax + Bx + Cx^2 + 9
Vamos usar frações parciais para decompor essa fração. Assumimos que:
1 = A(x^2 + 9) + (Bx + C)x
Multiplicando ambos os lados por 1 = A x^2 + 9A + Bx^2 + Cx :
(A + B)x^2 + Cx + 9A = 1
Simplificando:
A + B = 0 C = 0 9A = 1
Agrupando os termos semelhantes:
A = 19, B = -19, C = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, temos:

Passo 5

Substituindo os valores de 1x(x^2 + 9) = 19x - 19xx^2 + 9 , integral ( 19x - x9(x^2 + 9) ) dx = 19 integral 1x , dx - 19 integral xx^2 + 9 , dx e , temos:
Então, a integral se torna:

Passo 6

Integrando cada termo:
19 integral 1x , dx = 19 ln|x|
Para a segunda integral, fazemos uma substituição. Seja -19 integral xx^2 + 9 , dx = -19 cdot 12 integral 1u , du = -118 ln|u| = -118 ln|x^2 + 9| , então , ou seja, .
Então:

Resposta

x^33 + 19 ln|x| - 118 ln|x^2 + 9| + C

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