Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da decomposição em frações parciais.
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
utilizando o método de frações parciais. Esse método é parte da Álgebra e Cálculo, e nos ajuda a decompor uma fração racional em frações mais simples, facilitando a integração. Para isso, precisaremos identificar os fatores do denominador e expressar a fração original como uma soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, observamos o denominador da fração:
. Notamos que
é um polinômio de segundo grau que não pode ser fatorado facilmente com números reais, e
é um polinômio de primeiro grau. Assim, nossa decomposição de frações parciais terá a forma:
Aqui,
representa a parte da fração que corresponde ao denominador de segundo grau, e
corresponde ao denominador de primeiro grau.
Passo 3
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Expandimos o lado direito da equação:
Simplificamos os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios de ambos os lados da equação:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Isso nos dá um sistema de equações lineares para resolver os valores de
,
e
.
Passo 5
Resolvemos o sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Vamos resolver a equação (1) para
:
Substituímos
na equação (3):
Agora, temos as equações (2) e (4):
Vamos multiplicar a equação (2) por 1 para facilitar:
Multiplicamos a equação (2) por 1 e a equação (4) por 2 para eliminar
:
Somando as equações (2) e (5):
Agora, substituímos
na equação (1):
E substituímos
na equação (2):
Resposta
Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial, temos:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Resolvendo as integrais:
- Para
, fazemos a substituição , , então:
- Para
, fazemos a substituição , , então:
Juntando as duas integrais:
Onde
é a constante de integração.
Portanto, a solução da integral é: