Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da decomposição em frações parciais.
integral x^2-x-4(x^2+4)(2 x-1) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida utilizando o método de frações parciais. Esse método é parte da Álgebra e Cálculo, e nos ajuda a decompor uma fração racional em frações mais simples, facilitando a integração. Para isso, precisaremos identificar os fatores do denominador e expressar a fração original como uma soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, observamos o denominador da fração: x^2-x-4(x^2+4)(2 x-1) = Ax + Bx^2 + 4 + C2x - 1 . Notamos que é um polinômio de segundo grau que não pode ser fatorado facilmente com números reais, e é um polinômio de primeiro grau. Assim, nossa decomposição de frações parciais terá a forma:
Aqui, representa a parte da fração que corresponde ao denominador de segundo grau, e corresponde ao denominador de primeiro grau.

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2 - x - 4 = (Ax + B)(2x - 1) + C(x^2 + 4) para eliminar as frações:
x^2 - x - 4 = (2A x^2 - A x + 2B x - B) + C x^2 + 4C
Expandimos o lado direito da equação:
x^2 - x - 4 = (2A + C)x^2 + (-A + 2B)x + (-B + 4C)
Simplificamos os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios de ambos os lados da equação:
  1. Coeficiente de 2A + C = 1 :
-A + 2B = -1
  1. Coeficiente de -B + 4C = -4 :
  1. Termo constante:
Isso nos dá um sistema de equações lineares para resolver os valores de , e .

Passo 5

Resolvemos o sistema de equações:
Primeira equação:
2A + C = 1 (1)
Segunda equação:
-A + 2B = -1 (2)
Terceira equação:
-B + 4C = -4 (3)
Vamos resolver a equação (1) para C = 1 - 2A :
-B + 4(1 - 2A) = -4 -B + 4 - 8A = -4 -B - 8A = -8 (4)
Substituímos -A + 2B = -1 (2) -B - 8A = -8 (4) na equação (3):
-A + 2B = -1 (2)
Agora, temos as equações (2) e (4):
-A + 2B = -1 (2) -2B - 16A = -16 (5)
Vamos multiplicar a equação (2) por 1 para facilitar:
(-A + 2B) + (-2B - 16A) = -1 + (-16) -17A = -17 A = 1
Multiplicamos a equação (2) por 1 e a equação (4) por 2 para eliminar 2(1) + C = 1 2 + C = 1 C = -1 :
-1 + 2B = -1 2B = 0 B = 0
Somando as equações (2) e (5):
Agora, substituímos na equação (1):
E substituímos na equação (2):

Resposta

Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial, temos:
x^2-x-4(x^2+4)(2 x-1) = 1 cdot x + 0x^2 + 4 + -12x - 1 = xx^2 + 4 - 12x - 1
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral xx^2 + 4 dx - integral 12x - 1 dx
Resolvendo as integrais:
  1. Para 12 ln|x^2 + 4| + C1 , fazemos a substituição 12 ln|2x - 1| + C2 , 12 ln|x^2 + 4| - 12 ln|2x - 1| + C , então:
12 ln(x^2 + 42x - 1) + C
  1. Para , fazemos a substituição , , então:
Juntando as duas integrais:
Onde é a constante de integração.
Portanto, a solução da integral é:

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