Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da substituição trigonométrica.
integral raiz9-x^2x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral indefinida usando o método da substituição trigonométrica. A integral que temos é:
integral raiz9 - x^2x^3 , dx
Então, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que é útil quando temos raízes quadradas de expressões quadráticas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: raiza^2 - x^2. Isso sugere que podemos usar a substituição trigonométrica x = a sin theta. Aqui, a^2 = 9, então a = 3. Assim, fazemos:
x = 3 sin theta

Passo 3

Agora, precisamos calcular dx. Derivando ambos os lados em relação a theta:
dx = 3 cos theta , dtheta

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original:
integral raiz9 - (3 sin theta)^2(3 sin theta)^3 cdot 3 cos theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz9 - 9 sin^2 theta = raiz9(1 - sin^2 theta) = raiz9 cos^2 theta = 3 cos theta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 3 cos theta27 sin^3 theta cdot 3 cos theta , dtheta = integral 9 cos^2 theta27 sin^3 theta , dtheta = integral cos^2 theta3 sin^3 theta , dtheta
Podemos fatorar o 1/3:
13 integral cos^2 thetasin^3 theta , dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que cos^2 theta = 1 - sin^2 theta, então:
13 integral 1 - sin^2 thetasin^3 theta , dtheta = 13 integral ( 1sin^3 theta - sin^2 thetasin^3 theta ) dtheta = 13 integral ( csc^3 theta - csc theta ) dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar csc^3 theta e csc theta separadamente.
Sabemos que:
integral csc theta , dtheta = -ln|csc theta + cot theta| + C
E para integral csc^3 theta , dtheta, usamos uma técnica de integração por partes, que nos dá:
integral csc^3 theta , dtheta = -12 csc theta cot theta + 12 ln|csc theta + cot theta| + C

Passo 8

Aplicando essas integrais na expressão:
13 ( -12 csc theta cot theta + 12 ln|csc theta + cot theta| - (-ln|csc theta + cot theta|) ) + C
Simplificando:
13 ( -12 csc theta cot theta + 32 ln|csc theta + cot theta| ) + C

Passo 9

Agora, vamos voltar para a variável original x. Sabemos que:
x = 3 sin theta Rightarrow sin theta = x3
Desenhando um triângulo retângulo, temos:
  • O lado oposto a theta é x.
  • A hipotenusa é 3.
  • O lado adjacente é raiz9 - x^2.
Então:
csc theta = 1sin theta = 3x
cot theta = cos thetasin theta = raiz9 - x^2x

Passo 10

Substituindo de volta na expressão:
13 ( -12 cdot 3x cdot raiz9 - x^2x + 32 ln|3x + raiz9 - x^2x| ) + C
Simplificando:
-raiz9 - x^22x^2 + 12 ln|3 + raiz9 - x^2x| + C

Resposta

A integral indefinida é:
-raiz9 - x^22x^2 + 12 ln|3 + raiz9 - x^2x| + C

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