Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da substituição trigonométrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral indefinida usando o método da substituição trigonométrica. A integral que temos é:
Então, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que é útil quando temos raízes quadradas de expressões quadráticas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz:
. Isso sugere que podemos usar a substituição trigonométrica
. Aqui,
, então
. Assim, fazemos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Podemos fatorar o
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, vamos integrar
e
separadamente.
Sabemos que:
E para
, usamos uma técnica de integração por partes, que nos dá:
Passo 8
Aplicando essas integrais na expressão:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos voltar para a variável original
. Sabemos que:
Desenhando um triângulo retângulo, temos:
- O lado oposto a
é . - A hipotenusa é
. - O lado adjacente é
.
Então:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão:
Simplificando:
Resposta
A integral indefinida é: