Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da substituição trigonométrica.
integral 5 x+3raizx^2+4 x+10 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando o método da substituição trigonométrica. A questão pede para calcular:
integral 5x + 3raizx^2 + 4x + 10 , dx
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais envolvendo radicais quadráticos e como a substituição trigonométrica pode simplificar esses tipos de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador realizando o completar o quadrado na expressão x^2 + 4x + 10 = (x^2 + 4x + 4) + 6 = (x + 2)^2 + 6 . Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão em uma forma que facilite a substituição trigonométrica.
integral 5x + 3raiz(x + 2)^2 + 6 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos deixar raiz(x + 2)^2 + 6 = raiz6 tan^2 theta + 6 = raiz6(tan^2 theta + 1) = raiz6 sec theta . Isso simplifica o denominador, pois:
dx = raiz6 sec^2 theta , dtheta
Além disso, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral 5x + 3raiz(x + 2)^2 + 6 , dx = integral 5(raiz6 tan theta - 2) + 3raiz6 sec theta cdot raiz6 sec^2 theta , dtheta
Simplificando:
integral 5raiz6 tan theta - 10 + 3raiz6 sec theta cdot raiz6 sec^2 theta , dtheta = integral (5raiz6 tan theta - 7) sec theta , dtheta
Agora, separamos a integral:
5raiz6 integral tan theta sec theta , dtheta - 7 integral sec theta , dtheta

Passo 5

Resolvendo as integrais separadas:
  1. 5raiz6 sec theta - 7 ln |sec theta + tan theta| + C
Então, temos:

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original x + 2 = raiz6 tan theta implies tan theta = x + 2raiz6 . Sabemos que:
sec theta = raiz(x + 2)^2 + 6raiz6 = raizx^2 + 4x + 10raiz6
E também:
5raiz6 cdot raizx^2 + 4x + 10raiz6 - 7 ln | raizx^2 + 4x + 10raiz6 + x + 2raiz6 | + C
Substituindo de volta:
5 raizx^2 + 4x + 10 - 7 ln | raizx^2 + 4x + 10 + x + 2raiz6 | + C
Simplificando:

Resposta

A integral indefinida é:
5 raizx^2 + 4x + 10 - 7 ln | raizx^2 + 4x + 10 + x + 2raiz6 | + C

Exercícios relacionados