Calcule as integrais indefinidas abaixo usando o método da substituição trigonométrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando o método da substituição trigonométrica. A questão pede para calcular:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais envolvendo radicais quadráticos e como a substituição trigonométrica pode simplificar esses tipos de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador realizando o completar o quadrado na expressão
. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão em uma forma que facilite a substituição trigonométrica.
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos deixar
. Isso simplifica o denominador, pois:
Além disso, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando:
Agora, separamos a integral:
Passo 5
Resolvendo as integrais separadas:
Então, temos:
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
. Sabemos que:
E também:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
A integral indefinida é: