Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada: integral 1raiz1-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral 1raiz1-x^2 , dx. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral e vamos utilizar o método de substituição de variável para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que a expressão raiz1 - x^2 sugere o uso de uma substituição trigonométrica. Vamos definir x = sin theta.

Passo 3

Com x = sin theta, precisamos encontrar o diferencial dx. Diferenciando ambos os lados, temos:
dx = cos theta , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral 1raiz1 - sin^2 theta cdot cos theta , dtheta

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica sin^2 theta + cos^2 theta = 1, que nos dá 1 - sin^2 theta = cos^2 theta. Assim, a integral fica:
integral 1|cos theta| cdot cos theta , dtheta
Como cos theta é positivo no intervalo considerado, podemos simplificar para:
integral dtheta

Passo 6

Integrando, obtemos:
theta + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original. Sabemos que x = sin theta, então theta = arcsin x. Substituindo de volta, temos:
arcsin x + C

Resposta

A integral é igual a arcsin x + C.

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