Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada:
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral e vamos utilizar o método de substituição de variável para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que a expressão
sugere o uso de uma substituição trigonométrica. Vamos definir
.
Passo 3
Com
, precisamos encontrar o diferencial
. Diferenciando ambos os lados, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica
, que nos dá
. Assim, a integral fica:
Como
é positivo no intervalo considerado, podemos simplificar para:
Passo 6
Integrando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original. Sabemos que
, então
. Substituindo de volta, temos:
Resposta
A integral é igual a
.
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Calcule
3)
3)
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
.
Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
.
Calcule a integral indefinida.