Calcule
3) integral-3^4 raiz[3]5-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral definida que envolve uma raiz cúbica. Para resolver isso, vamos usar o conceito de substituição nas integrais, que ajuda a simplificar expressões mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir uma nova variável u = 5 - x igual a . Então:
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz cúbica.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial dudx = -1 Rightarrow du = -dx Rightarrow dx = -du em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:

Passo 4

Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a nova variável u = 5 - (-3) = 8 . Quando u = 5 - 4 = 1 :
E quando :
Então, os novos limites são de a .

Passo 5

Substituindo integral-3^4 raiz[3]5 - x , dx = integral8^1 raiz[3]u cdot (-du) = integral1^8 raiz[3]u , du e na integral original, temos:
Note que mudamos os limites de integração e tiramos o sinal negativo invertendo os limites.

Passo 6

Agora, vamos integrar raiz[3]u = u^1/3 . Sabemos que:
integral u^1/3 , du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C
A integral de é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 34 u^4/3 |1^8 = 34 (8^4/3 - 1^4/3) a :

Passo 8

Calculando 8^4/3 = (2^3)^4/3 = 2^4 = 16 :
34 (16 - 1) = 34 times 15 = 454
E . Então:

Resposta

A integral é igual a .

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