Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
.
Passo 1
Neste exercício, vamos determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, precisamos utilizar o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico da função. Vamos precisar da função e de sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
para descobrir as coordenadas do ponto em que estamos interessados. Ou seja, precisamos substituir
por
na função:
Calculando isso, temos:
Então, o ponto onde queremos encontrar a reta tangente é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada
de
é calculada assim:
Agora, precisamos calcular a derivada no ponto
:
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Agora que temos a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta, que é:
Onde
é o ponto que encontramos, ou seja,
, e
é a inclinação que encontramos que é
. Substituindo os valores na fórmula, temos:
Simplificando a equação:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
, em
.
Calcule
3)
3)
Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada: