Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto a indicado.
f(x)=3 x-x^2, em a=2.

Passo 1

Neste exercício, vamos determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 3x - x^2 no ponto a = 2. Para isso, precisamos utilizar o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico da função. Vamos precisar da função e de sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(2) para descobrir as coordenadas do ponto em que estamos interessados. Ou seja, precisamos substituir x por 2 na função:
f(2) = 3(2) - (2)^2
Calculando isso, temos:
f(2) = 6 - 4 = 2
Então, o ponto onde queremos encontrar a reta tangente é (2, 2).

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função f(x) para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada f'(x) de f(x) = 3x - x^2 é calculada assim:
f'(x) = ddx(3x) - ddx(x^2) = 3 - 2x
Agora, precisamos calcular a derivada no ponto x = 2:
f'(2) = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto (2, 2) é -1.

Passo 4

Agora que temos a inclinação da reta tangente e o ponto (2, 2), podemos usar a fórmula da equação da reta, que é:
y - y0 = m(x - x0)
Onde (x0, y0) é o ponto que encontramos, ou seja, (2, 2), e m é a inclinação que encontramos que é -1. Substituindo os valores na fórmula, temos:
y - 2 = -1(x - 2)
Simplificando a equação:
y - 2 = -x + 2 implies y = -x + 4

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 3x - x^2 no ponto a = 2 é y = -x + 4.

Exercícios relacionados

Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
f(x)=1-x2+x, em a=0.
integral0^4 xraiz1+2 x d x,
Calcule
3) integral-3^4 raiz[3]5-x d x
Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada: integral 1raiz1-x^2 d x