Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de
em relação a
. Esse tipo de integral geralmente envolve a técnica de substituição de variável, que é muito útil quando a integral tem uma função composta. Vamos usar a substituição para simplificar essa expressão e encontrar a antiderivada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma nova variável, simplificaria a integral. Aqui, temos
e também
multiplicando. A derivada de
é
, então faz sentido escolher
.
Passo 3
Definimos
. Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Isso é bom porque temos
na nossa integral original.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Porque
e
.
Passo 5
Agora, a integral está mais simples:
. Sabemos que
. A regra da potência para integrais nos diz que
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando a regra da potência:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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