Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de em relação a . Esse tipo de integral geralmente envolve a técnica de substituição de variável, que é muito útil quando a integral tem uma função composta. Vamos usar a substituição para simplificar essa expressão e encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma nova variável, simplificaria a integral. Aqui, temos e também multiplicando. A derivada de é , então faz sentido escolher .

Passo 3

Definimos . Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Isso é bom porque temos na nossa integral original.

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Porque e .

Passo 5

Agora, a integral está mais simples: . Sabemos que . A regra da potência para integrais nos diz que , onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra da potência:

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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