Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a técnica de integração por partes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de
em relação a
. Isso significa que queremos achar uma função cuja derivada seja
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a integral envolve o produto de duas funções. Aqui, a gente vai identificar quais partes da nossa integral vão ser essas duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Onde:
-
é uma função que vamos derivar ( ), -
é outra função que vamos integrar para achar .
Passo 3
No nosso caso, a integral é
. Temos que escolher qual parte vai ser
e qual vai ser
.
Vamos escolher:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
para achar :
Passo 5
Agora, vamos substituir na fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Passo 6
Simplificando a integral que ficou:
Então, substituindo de volta:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral de
em relação a
é:
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