Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a técnica de integração por partes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral indefinida de em relação a . Isso significa que queremos achar uma função cuja derivada seja . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a integral envolve o produto de duas funções. Aqui, a gente vai identificar quais partes da nossa integral vão ser essas duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Onde:
  • é uma função que vamos derivar ( ),
  • é outra função que vamos integrar para achar .

Passo 3

No nosso caso, a integral é . Temos que escolher qual parte vai ser e qual vai ser .
Vamos escolher:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando para achar :

Passo 5

Agora, vamos substituir na fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :

Passo 6

Simplificando a integral que ficou:
Então, substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de em relação a é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada:
Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a técnica de integração por partes:
Calcule os limites abaixo
Calcule os limites abaixo