Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a técnica de integração por partes:
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer. Temos que calcular a integral indefinida de
em relação a
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Vamos escolher:
e
Faz sentido escolher
porque a derivada de
é mais simples.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
.
Para
:
Isso porque a derivada de
é
.
Para
:
Passo 5
Com
,
,
e
definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar a segunda integral:
Podemos reescrever o numerador:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Voltando à nossa expressão inicial:
Simplificando os termos:
Resposta
onde
é a constante de integração.
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