Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a técnica de integração por partes:

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer. Temos que calcular a integral indefinida de em relação a . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
e
Faz sentido escolher porque a derivada de é mais simples.

Passo 4

Agora, vamos calcular e .
Para :
Isso porque a derivada de é .
Para :

Passo 5

Com , , e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
Podemos reescrever o numerador:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Voltando à nossa expressão inicial:
Simplificando os termos:

Resposta

onde é a constante de integração.

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