Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada:
Passo 1
Beleza, temos aqui uma integral indefinida para resolver:
. O conteúdo envolve cálculo de integrais utilizando a técnica de substituição de variável. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável que simplifique a integral, facilitando sua resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que torne a integral mais fácil. Observamos que o denominador
se parece com a forma
, que é clássica para usar substituições trigonométricas. Vamos então definir:
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a diferencial
. Derivando ambos os lados da substituição em relação a
, temos:
Isso nos ajudará a substituir
na integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, ela fica assim:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Integrando
fica simplesmente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando da substituição que fizemos:
Então:
Resposta
Portanto, a integral resolve para:
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