Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a substituição de variável adequada:

Passo 1

Beleza, temos aqui uma integral indefinida para resolver: . O conteúdo envolve cálculo de integrais utilizando a técnica de substituição de variável. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável que simplifique a integral, facilitando sua resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que torne a integral mais fácil. Observamos que o denominador se parece com a forma , que é clássica para usar substituições trigonométricas. Vamos então definir:
Essa substituição simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a diferencial . Derivando ambos os lados da substituição em relação a , temos:
Isso nos ajudará a substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo e na integral, ela fica assim:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Integrando fica simplesmente:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando da substituição que fizemos:
Então:

Resposta

Portanto, a integral resolve para:

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