Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando a técnica de integração por partes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . O conteúdo aqui é cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar escolher partes da função para definir e , e depois aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da função será e qual será . Uma boa escolha é:
Escolhemos como a função logarítmica porque sua derivada simplifica a expressão, e como para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 4

Com , , e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo:

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
Podemos separar essa fração:
Então:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:
Simplificando:

Resposta

A integral indefinida é:

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