Calcule as integrais indefinidas abaixo, utilizando substituições por identidades trigonométricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, o conteúdo que vamos usar é a integração de funções trigonométricas, mais especificamente, a utilização de identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos precisar da identidade de que nos ajudará a reescrever a função de uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que relaciona com o cosseno de duplo ângulo. A identidade é:
Essa identidade é super útil porque transforma o seno ao quadrado em uma expressão que envolve o cosseno de , o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos a identidade na integral original:
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo por 2:

Passo 4

Vamos então integrar cada termo separadamente:
A integral de 1 em relação a é simplesmente . Já a integral de usa uma substituição simples. Sabemos que:
Aplicando isso com :
Substituindo de volta na expressão:

Resposta

Portanto, a integral de em relação a é:
onde é a constante de integração.

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