Calcule as integrais indefinidas abaixo, utilizando substituições por identidades trigonométricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, o conteúdo que vamos usar é a integração de funções trigonométricas, mais especificamente, a utilização de identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos precisar da identidade de
que nos ajudará a reescrever a função de uma forma mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que relaciona
com o cosseno de duplo ângulo. A identidade é:
Essa identidade é super útil porque transforma o seno ao quadrado em uma expressão que envolve o cosseno de
, o que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, substituímos a identidade na integral original:
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo por 2:
Passo 4
Vamos então integrar cada termo separadamente:
A integral de 1 em relação a
é simplesmente
. Já a integral de
usa uma substituição simples. Sabemos que:
Aplicando isso com
:
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
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