Calcule as integrais indefinidas abaixo, utilizando substituições por identidades trigonométricas:

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida de em relação a . Esse exercício envolve conhecimentos de integrais básicas e identidades trigonométricas, além da técnica de substituição. Vamos usar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar funções como , onde é uma constante, podemos usar a substituição direta. A ideia é escolher uma nova variável que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável igual a :
Agora, derivamos ambos os lados em relação a para encontrar :
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos por e por na integral original:

Passo 5

Fatoramos a constante para fora da integral:

Passo 6

Agora, integramos em relação a . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituímos de volta por :

Resposta

A integral indefinida de em relação a é:

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