Calcule as integrais indefinidas abaixo, utilizando substituições por identidades trigonométricas:
Passo 1
Vamos calcular a integral indefinida de
em relação a
. Esse exercício envolve conhecimentos de integrais básicas e identidades trigonométricas, além da técnica de substituição. Vamos usar a substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para integrar funções como
, onde
é uma constante, podemos usar a substituição direta. A ideia é escolher uma nova variável que simplifique a expressão dentro da integral.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
igual a
:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
para encontrar
:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituímos
por
e
por
na integral original:
Passo 5
Fatoramos a constante
para fora da integral:
Passo 6
Agora, integramos
em relação a
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral indefinida de
em relação a
é:
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