Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
d)
é a região do primeiro quadrante delimitada pelas funções
d)
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo de área usando integrais definidas. A questão pede para esboçarmos a região no primeiro quadrante delimitada pelas funções
,
e
. Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se encontram e quais limites de integração usar para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas funções se intersectam. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração. Vamos resolver as equações
,
, e
.
-
Entre
e : Simplificando:Resolvendo a equação quadrática:Então,ou . -
Entre
e : Simplificando:Resolvendo a equação quadrática:Então,ou . -
Entre
e : Simplificando:
Passo 3
Agora, identificamos os pontos de interseção:
-
e se encontram em e . -
e se encontram em e . -
e se encontram em .
Como estamos no primeiro quadrante, vamos considerar os valores de
positivos que fazem sentido dentro desse contexto. Observando os valores, os limites de integração relevantes são de
a
e de
a
.
Passo 4
Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
-
De
a :
Aqui, a função superior ée a inferior é . -
De
a :
Aqui, a função superior ée a inferior é .
A área total será a soma das integrais dessas duas regiões.
Passo 5
Calculando a primeira integral de
a
:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Calculando a segunda integral de
a
:
Integrando:
Calculando nos limites:
Resposta
A área da região
no primeiro quadrante delimitada pelas funções dadas é:
Exercícios relacionados
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
a) e
a)
Uma embalagem de suco com formato de um prisma reto de base quadrada contém oito litros. (1 litro
). Determine:
c) Determine as dimensões da embalagem de menor área superficial.
c) Determine as dimensões da embalagem de menor área superficial.
Calcule as integrais indefinidas
i)
i)
Calcule as integrais indefinidas
l)
l)