Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
d)
é a região do primeiro quadrante delimitada pelas funções
d)
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo de área usando integrais definidas. A questão pede para esboçarmos a região no primeiro quadrante delimitada pelas funções
,
e
. Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se encontram e quais limites de integração usar para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas funções se intersectam. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração. Vamos resolver as equações
,
, e
.
-
Entre
e : Simplificando:Resolvendo a equação quadrática:Então,ou . -
Entre
e : Simplificando:Resolvendo a equação quadrática:Então,ou . -
Entre
e : Simplificando:
Passo 3
Agora, identificamos os pontos de interseção:
-
e se encontram em e . -
e se encontram em e . -
e se encontram em .
Como estamos no primeiro quadrante, vamos considerar os valores de
positivos que fazem sentido dentro desse contexto. Observando os valores, os limites de integração relevantes são de
a
e de
a
.
Passo 4
Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
-
De
a :
Aqui, a função superior ée a inferior é . -
De
a :
Aqui, a função superior ée a inferior é .
A área total será a soma das integrais dessas duas regiões.
Passo 5
Calculando a primeira integral de
a
:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Calculando a segunda integral de
a
:
Integrando:
Calculando nos limites:
Resposta
A área da região
no primeiro quadrante delimitada pelas funções dadas é: