Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
d) R é a região do primeiro quadrante delimitada pelas funções
f(x) = -5 x + 10, g(x) = -x^2 + 6 x e h(x) = -x^2 + 8 x - 12

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo de área usando integrais definidas. A questão pede para esboçarmos a região no primeiro quadrante delimitada pelas funções , e . Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se encontram e quais limites de integração usar para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas funções se intersectam. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração. Vamos resolver as equações , , e .
  1. Entre e :
    Simplificando:
    Resolvendo a equação quadrática:
    Então, ou .
  2. Entre e :
    Simplificando:
    Resolvendo a equação quadrática:
    Então, ou .
  3. Entre e :
    Simplificando:

Passo 3

Agora, identificamos os pontos de interseção:
  • e se encontram em e .
  • e se encontram em e .
  • e se encontram em .
Como estamos no primeiro quadrante, vamos considerar os valores de positivos que fazem sentido dentro desse contexto. Observando os valores, os limites de integração relevantes são de a e de a .

Passo 4

Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
  1. De a :
    Aqui, a função superior é e a inferior é .
  2. De a :
    Aqui, a função superior é e a inferior é .
A área total será a soma das integrais dessas duas regiões.

Passo 5

Calculando a primeira integral de a :
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Calculando a segunda integral de a :
Integrando:
Calculando nos limites:

Resposta

A área da região no primeiro quadrante delimitada pelas funções dadas é:

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