Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
a)
e
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas
e
. Isso envolve desenhar as duas funções, descobrir onde elas se cruzam e usar uma integral definida para calcular essa área. Vamos precisar de conhecimentos de álgebra para resolver as interseções e de cálculo integral para determinar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos
e
:
Vamos resolver essa equação:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender qual das duas funções está por cima da outra no intervalo entre
e
. Vamos escolher um valor no meio, por exemplo,
:
Como
, podemos concluir que
está acima de
nesse intervalo. Isso significa que a área entre elas será a integral de
de
a
.
Passo 4
Vamos montar a integral definida para calcular a área:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos calcular essa integral:
Avaliar de
a
:
Calculando cada parte:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.