Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
a) f(x) = 9 - x^2 e g(x) = x^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e . Isso envolve desenhar as duas funções, descobrir onde elas se cruzam e usar uma integral definida para calcular essa área. Vamos precisar de conhecimentos de álgebra para resolver as interseções e de cálculo integral para determinar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos e :
Vamos resolver essa equação:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos entender qual das duas funções está por cima da outra no intervalo entre e . Vamos escolher um valor no meio, por exemplo, :
Como , podemos concluir que está acima de nesse intervalo. Isso significa que a área entre elas será a integral de de a .

Passo 4

Vamos montar a integral definida para calcular a área:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á
Vamos calcular essa integral:
Avaliar de a :
Calculando cada parte:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

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