Calcule as integrais indefinidas: integral x^2+16 x-9 x^2 d x Resposta: -x9+16 ln |x|-1354 ln |2-3 x|+c

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de x^2+16 x-9 x^2 , dx. Estamos lidando com integração de funções racionais aqui, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração. Podemos reescrever o denominador:
6x - 9x^2 = -9x^2 + 6x = -3x(3x - 2)
Então, a integral fica:
integral x^2+1-3x(3x - 2) , dx = -13 integral x^2+1x(3x - 2) , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração. Dividindo x^2+13x^2 - 2x = 13 + 2x + 13x^2 - 2x por -13 integral ( 13 + 2x + 13x^2 - 2x ) dx = -19 integral dx - 13 integral 2x + 1x(3x - 2) , dx :
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos focar na segunda integral, que é uma fração mais complicada. Para resolver, vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes 2x + 1x(3x - 2) = Ax + B3x - 2 e 2x + 1 = A(3x - 2) + Bx tais que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos resolver para 2x + 1 = 3A x - 2A + Bx e 2x + 1 = (3A + B)x - 2A . Expandindo a equação:
3A + B = 2 -2A = 1
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, temos e .

Passo 6

Agora, substituímos 2x + 1x(3x - 2) = -12x + 723x - 2 e -19 x - 13 ( -12 ln|x| + 76 ln|3x - 2| ) + C de volta nas frações parciais:
Então, a integral fica:

Resposta

Simplificando tudo, a integral indefinida é:
-x9 + 16 ln |x| - 1354 ln |2 - 3x| + C

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encontre as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico desse par de equações e faça um esboço do gráfico.
Mostre que a inclinação da reta tangente, em t = t1 à cicloide descrita pelas equações
x = a(t - sen(t)) e y = a(1 - cos(t))
é cot(t1 / 2). Deduza, então, que a reta tangente é vertical quando t = 2 n pi, onde n é um inteiro qualquer.
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