Mostre que a inclinação da reta tangente, em à cicloide descrita pelas equações
é . Deduza, então, que a reta tangente é vertical quando , onde é um inteiro qualquer.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma curva chamada cicloide, que é definida pelas equações paramétricas:
O que precisamos fazer aqui é encontrar a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Depois, vamos usar esse resultado para mostrar que a reta tangente é vertical quando , onde é um número inteiro. Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente a uma curva parametrizada é dada pela derivada , que podemos calcular como .
Vamos calcular e .
Passo 3
Vamos derivar :
Agora, vamos derivar :
Passo 4
Agora, a inclinação da reta tangente é:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
E:
Substituindo na fração:
Passo 6
Então, mostramos que a inclinação da reta tangente é:
Substituindo :
Passo 7
Agora, para a reta tangente ser vertical, a inclinação precisa ser infinita, ou seja, o denominador da fração deve ser zero. Isso acontece quando:
Isso ocorre quando , onde é um número inteiro. Multiplicando ambos os lados por 2:
Resposta
A inclinação da reta tangente à cicloide em é e a reta tangente é vertical quando , onde é um número inteiro.