Mostre que a inclinação da reta tangente, em t = t1 à cicloide descrita pelas equações
x = a(t - sen(t)) e y = a(1 - cos(t))
é cot(t1 / 2). Deduza, então, que a reta tangente é vertical quando t = 2 n pi, onde n é um inteiro qualquer.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma curva chamada cicloide, que é definida pelas equações paramétricas:
O que precisamos fazer aqui é encontrar a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Depois, vamos usar esse resultado para mostrar que a reta tangente é vertical quando , onde é um número inteiro. Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente a uma curva parametrizada é dada pela derivada , que podemos calcular como .
Vamos calcular e .

Passo 3

Vamos derivar :
Agora, vamos derivar :

Passo 4

Agora, a inclinação da reta tangente é:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
E:
Substituindo na fração:

Passo 6

Então, mostramos que a inclinação da reta tangente é:
Substituindo :

Passo 7

Agora, para a reta tangente ser vertical, a inclinação precisa ser infinita, ou seja, o denominador da fração deve ser zero. Isso acontece quando:
Isso ocorre quando , onde é um número inteiro. Multiplicando ambos os lados por 2:

Resposta

A inclinação da reta tangente à cicloide em é e a reta tangente é vertical quando , onde é um número inteiro.

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