Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de frações parciais e também reconhecer formas que podem ser integradas diretamente, como logaritmos e arctan.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a integração. Observamos que o denominador é:
Podemos rearranjar os termos para deixar na ordem padrão:
Passo 3
Agora, vamos tentar fatorar esse trinômio. Vamos verificar se ele pode ser expresso como o produto de dois binômios. Porém, nesse caso, não é fácil fatorar diretamente. Então, vamos completar o quadrado para reescrever o denominador de uma forma que facilite a integração.
Passo 4
Para completar o quadrado, observamos os coeficientes:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Então, o denominador fica:
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral com essa nova forma do denominador:
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Além disso, expressamos
em termos de
:
Passo 6
Substituindo tudo na integral:
Passo 7
Agora, separamos a integral em duas partes:
A primeira parte é uma integral que resulta em um logaritmo natural, e a segunda parte resulta em uma função arctan.
Passo 8
Calculando as integrais:
Simplificando:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
Então, a integral fica:
Resposta
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encontre as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico desse par de equações e faça um esboço do gráfico.
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Mostre que a inclinação da reta tangente, em
à cicloide descrita pelas equações
é
. Deduza, então, que a reta tangente é vertical quando
, onde
é um inteiro qualquer.