Calcule as integrais indefinidas: integral x2+6 x+9 x^2 d x Resposta: 118 ln (2+6 x+9 x^2)-19 arctan (3 x+1)+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A questão pede para calcularmos:
integral x2 + 6x + 9x^2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de frações parciais e também reconhecer formas que podem ser integradas diretamente, como logaritmos e arctan.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a integração. Observamos que o denominador é:
2 + 6x + 9x^2
Podemos rearranjar os termos para deixar na ordem padrão:
9x^2 + 6x + 2

Passo 3

Agora, vamos tentar fatorar esse trinômio. Vamos verificar se ele pode ser expresso como o produto de dois binômios. Porém, nesse caso, não é fácil fatorar diretamente. Então, vamos completar o quadrado para reescrever o denominador de uma forma que facilite a integração.

Passo 4

Para completar o quadrado, observamos os coeficientes:
9x^2 + 6x + 2 = 9(x^2 + 23x) + 2
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
x^2 + 23x = (x + 13)^2 - 19
Substituindo de volta:
9((x + 13)^2 - 19) + 2 = 9(x + 13)^2 - 1 + 2 = 9(x + 13)^2 + 1
Então, o denominador fica:
9(x + 13)^2 + 1

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral com essa nova forma do denominador:
integral x9(x + 13)^2 + 1 , dx
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 3x + 1 Rightarrow du = 3,dx Rightarrow dx = du3
Além disso, expressamos x = u - 13 em termos de :

Passo 6

Substituindo tudo na integral:
integral u - 139(u3)^2 + 1 cdot du3 = integral u - 13u^2 + 1 cdot du3 = 19 integral u - 1u^2 + 1 , du

Passo 7

Agora, separamos a integral em duas partes:
19 integral uu^2 + 1 , du - 19 integral 1u^2 + 1 , du
A primeira parte é uma integral que resulta em um logaritmo natural, e a segunda parte resulta em uma função arctan.

Passo 8

Calculando as integrais:
19 cdot 12 ln(u^2 + 1) - 19 arctan(u) + C
Simplificando:
118 ln(u^2 + 1) - 19 arctan(u) + C

Passo 9

Lembrando que 118 ln((3x + 1)^2 + 1) - 19 arctan(3x + 1) + C , substituímos de volta:
(3x + 1)^2 + 1 = 9x^2 + 6x + 2
Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
118 ln(9x^2 + 6x + 2) - 19 arctan(3x + 1) + C
Então, a integral fica:

Resposta

118 ln(2 + 6x + 9x^2) - 19 arctan(3x + 1) + C

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