Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Isso envolve cálculo de integrais usando técnicas de álgebra e cálculo. Precisamos completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão e depois aplicar uma fórmula de integração que reconhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Para isso, vamos completar o quadrado. Mas antes, observe que todos os termos têm um 2 em comum, então podemos fatorar esse 2:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado na expressão
. Primeiro, fatoramos o 2 do termo quadrático:
Passo 4
Para completar o quadrado em
, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro da expressão:
Passo 5
Distribuindo o 2 e simplificando:
Convertendo 17 para fração com denominador 2:
Então:
Passo 6
Voltando à integral original, temos:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 7
Agora, a integral está na forma
, cuja antiderivada é
. Aqui,
,
e
.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Resposta
A integral indefinida é igual a
.
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Se
é contínua em
, então o Teorema Fundamental da Cálculo afirma que a derivada da função
é igual a
no intervalo
. Vamos usar este resultado para calcular a derivada da função
Verifique que, se
e
, então
.