Calcule as integrais indefinidas
integral 44 x^2+20 x+34 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 44 x^2+20 x+34 , dx. Isso envolve cálculo de integrais usando técnicas de álgebra e cálculo. Precisamos completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão e depois aplicar uma fórmula de integração que reconhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 4x^2 + 20x + 34. Para isso, vamos completar o quadrado. Mas antes, observe que todos os termos têm um 2 em comum, então podemos fatorar esse 2:
4x^2 + 20x + 34 = 2(2x^2 + 10x + 17)

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado na expressão 2x^2 + 10x + 17. Primeiro, fatoramos o 2 do termo quadrático:
2x^2 + 10x + 17 = 2(x^2 + 5x) + 17

Passo 4

Para completar o quadrado em x^2 + 5x, pegamos metade do coeficiente de x, que é 5/2, e elevamos ao quadrado:
(52)^2 = 254
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro da expressão:
2(x^2 + 5x + 254 - 254) + 17 = 2((x + 52)^2 - 254) + 17

Passo 5

Distribuindo o 2 e simplificando:
2(x + 52)^2 - 504 + 17 = 2(x + 52)^2 - 252 + 17
Convertendo 17 para fração com denominador 2:
17 = 342
Então:
2(x + 52)^2 - 252 + 342 = 2(x + 52)^2 + 92

Passo 6

Voltando à integral original, temos:
integral 42(x + 52)^2 + 92 , dx = integral 42(x + 52)^2 + 92 , dx
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
= integral 2(x + 52)^2 + 94 , dx

Passo 7

Agora, a integral está na forma integral A(x - h)^2 + a^2 , dx, cuja antiderivada é Aa tan^-1(x - ha) + C. Aqui, A = 2, h = -52 e a = 32.

Passo 8

Aplicando a fórmula:
integral 2(x + 52)^2 + (32)^2 , dx = 232 tan^-1(x + 5232) + C = 43 tan^-1(2x + 53) + C

Resposta

A integral indefinida é igual a 43 tan^-1(2x + 53) + C.

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