Calcule as integrais indefinidas
integral(x-1)^2(x+1)^2 d x

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular a integral indefinida de (x - 1)^2 (x + 1)^2 em relação a x. Estamos trabalhando com o conteúdo de cálculo integral, especificamente, integração de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar expandir os polinômios e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os polinômios (x - 1)^2 (x + 1)^2. Sabemos que (a)^2 (b)^2 = (ab)^2, então temos:
(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1
Portanto,
(x - 1)^2 (x + 1)^2 = (x^2 - 1)^2

Passo 3

Agora, vamos expandir (x^2 - 1)^2. Usando a fórmula do quadrado da diferença:
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Aplicando isso:
(x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1

Passo 4

Com a função expandida, a integral fica:
integral (x^4 - 2x^2 + 1),dx
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando cada termo:
  1. integral x^4,dx = x^55
  2. integral -2x^2,dx = -2 cdot x^33 = -2x^33
  3. integral 1,dx = x

Passo 6

Somando todas as integrais, temos:
x^55 - 2x^33 + x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
x^55 - 2x^33 + x + C

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